Лекция: Дискретные случайные величины

Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение: Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно пронумеровать.

Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.

где р1+ р2+…+ рn=1

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для этого в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).

Рис 1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):P(X=xi)=φ(xi),i =1,2,3…n

Задача 1.Вероятности того, что студент сдаст экзамен в сессию по педагогике и ОМОИ соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х- числа экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений:x1=0, x2=1, х3=2.

Найдем вероятность этих значений.Обозначим события: А – студент сдаст экзамен по педагогике, В-студент сдаст экзамен по ОМОИ. По условию:

Тогда:

Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:

Контроль:0,6+0,38+0,56=1.

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Хназывается функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:F(x)=Р(Х<х)