Лекция: Теорема Кантора

Аналогом мощности действительных (вещественных) чисел служит множество точек

на отрезке действительной оси или на всей действительной оси.

Равномощность различных отрезков, а также отрезка и всей прямой показаны на рисунках.

Теорема Кантора.

N < R (À0< À1)

Доказательство.

1. Поскольку множество R имеет такую же мощность, как и любой отрезок R, то будем рассматривать отрезок между 0 и 1. Числа будут представляться в виде бесконечных десятичных дробей. Конечные дроби для однозначности будут заменяться своими бесконечными аналогами. Например, 0.45 = 0.4499999…

Допустим, что каким-то образом установлено взаимно-однозначное соответствие между числами отрезка от 0 до 1 и множеством N.

0, а11, а21, а31 ......

0, а12, а22, а32 ......

0, а13, а23, а33 ...

.

Но здесь отсутствует число 0, b1, b2, b3… где a11 ¹ b1, b2 ¹ a22 … bn ¹ ann

Следовательно, предположение о возможности «пересчитать» множество действительных чисел на отрезке от 0 до 1 неверно. Действительных чисел больше.

Мощность множества действительных чисел À1 называется мощностью континуума.