Лекция: Задача о 4 красках

Это одна из самых знаменитых задач теории графов и математики вообще.

Достаточно ли четырех красок для раскраски любой политической карты мира так, чтобы два государства, имеющие общую границу, были раскрашены в разные цвета?

В качестве иллюстрации можно взять произвольную «карту». Для облегчения анализа представим государства в виде вершин графа. «Раскраску» отобразим цифрами.

Дуги будут говорить о наличии общих границ. Не должно быть дуг, соединяющих вершины с одинаковыми цифрами.

1 2 1

1 2 1

1 1 4 2 1 4

Так что задачу можно переформулировать так:

Сколько необходимо красок в планарном графе, чтобы любые две смежные вершины были раскрашены различными цветами?

Теорема: Трех красок мало.

1

Пример доказывает, что 3-х красок мало

2 3

Теорема: Для раскраски любого планарного графа достаточно 5-ти красок

Доказательство:

1) Для любого планарного графа с n<=5 теорема справедлива.

2) Пусть любой планарный граф с n вершинами 5-раскрашиваемый.

Докажем справедливость этого и для графа с n+1 вершинами, опираясь на доказанный факт, что в любом плоском графе имеется хотя бы одна вершина степени не выше пяти. Объявим такую вершину n+1-ой.

3 3

1 3

1 3

2

5

n

2.) Одна из цепочек замкнулась на 3, тогда из вершины с номером 2 строим цепь 2-4. Ни одна из этих цепей не замкнется на 4-ю вершину (т.к. граф планарный!). Меняем цвета 2 и 4 в этой цепи. И красим n+1-ю вершину в цвет 2.

Таким образом, то, что пяти красок достаточно, доказано.

Возвращаясь к четырем краскам следует сказать, что американскими математиками была доказана теорема, о том, что четырех красок достаточно. Однако, в этом доказательстве есть шаги, связанные с очень большими переборами вариантов, выполненные с использованием компьютера (пойди проверь). Так что с точки зрения «пуританской» математики можно считать, что теорема пока не доказана…