Лекция: Задача на условный экстремум

Заметим, что условие (3.6) удалось получить благодаря возможности придавать переменной х приращения двух знаков, откуда и возникли два неравенства (3.5). Если допустимая область значений х ограничена неотрицательными значениями х ³ 0, то внутри области, где х > 0, справедливость условия (3.6) сохраняется, так как там допустимы приращения обоих знаков. На границе области х³ 0, где х = 0, допускается только положительное приращение Δх > 0, можно говорить только об односторонней производной, и из (3.6) следует следующее необходимое условие максимума:

¶F(хопт)/¶хj ≤ 0.

Необходимое условие минимума на границе области хj = 0 запишется в виде

¶F(хопт)]/¶хj ³ 0.

При определении условного экстремума функции, когда требуется определить максимум (или минимум) функции F(х) при ограничивающих условиях

φi(х) = bi, i = 1, ..., m,

т.е.

F(x) = max;

φi(х) = bi,

используется также метод множителей Лагранжа, который, так же как в случае классического вариационного исчисления (см. юниту 1), заключается во введении функции Лагранжа

где – неопределенные множители Лагранжа.

Полагая, что функция является частным случаем функционала, получаем, что необходимые условия экстремума находятся прямым дифференцированием соотношения (3.7) и записываются в виде

Если ввести в рассмотрение векторы

λ = (λ1, ..., λm);

φ = (φ1, ..., φm);

b = (b1, ..., bm);

gradf(x) = {¶f/¶x1, ¶f/¶x2, ..., ¶f/¶xn},

соотношения (3.8) и (3.9) перепишутся как условия Лагранжа:

gradФ = gradF – λgradφ = 0;

b – φ = 0,

где равенство нулю векторов понимается покомпонентно.

В случае n = 2 и m = 1 геометрическая задача об отыскании условного экстремума сводится к отысканию точки касания А кривой φ = b к одной из кривых постоянного уровня F = const.