Лекция: sqrt ( x ) вычисление квадратного корня от x

Запишем в машинном виде формулу

С использованием стандартных функций это выражение запишется так

x = sqrt( (a+2*b+1)/((c-3*d)*(2*a-d)) +

abs ((15*a^2+3*b)/(5*c*(b-a))) );

11. Исполнитель Чертежник

Еще один исполнитель, с которым мы будем работать — Чертежник.Он умеет рисовать на плоскости, используя прямоугольную (декартову) систему координат.

2 Прямоугольная система координат

Представим себе, что в магазине на полках стоят товары, и вы хотите сказать продавщице, где находится тот товар, который вы хотите посмотреть.


полка


		стеллаж

Будем определять положение любого объекта двумя цифрами, первая из которых — стеллаж, а вторая — полка. Например, слон имеет координаты (2,2), а кошка — (4,3). Отсчет ведется от левого нижнего угла. Эта точка называется началом координат.

Теперь вспомним математику. На плоскости выбирается точка O, которая принимается за начало координат. Через нее проводятся две оси: горизонтальная ось OX вправо и вертикальная ось OY вверх. На обеих осях наносят разметку с выбранным шагом.

Координатами любой точки считаются два числа: расстояние до оси OY(координата x) и расстояние до оси OX(координата y). Считается, что точка O имеет координаты (0,0). Точки, расположенные справа от оси OY, имеют положительные координаты x, слева — отрицательные.

На рисунке показано, как определяются координаты точек на плоскости.

2 Как управлять Чертежником?

Среда Чертежника – плоскость с системой координат, которая необходима для того, чтобы однозначно определять место точки. Для задания системы координат надо определить

· направление осей координат

· единичные отрезки на осях

· начало отсчета – точку с координатами (0,0)

Оси координат не рисуются на экране — вы видите чистое белое поле. Началом координат считается центр поля исполнителя.

¨ СКИ Чертежника:

покажись; Чертежник появляется на экране

скройся; Чертежник исчезает

опусти_перо; после этого остается след

подними_перо; не оставлять след

в_точку ( x, y ); переместиться в точку с координатами(x,y)

вектор ( dx, dy ); переместиться на вектор (dx,dy)

относительно текущего положения

Покажем на примере разницу между командами в_точку и вектор.

Команда в_точку(20,40) перемещает исполнителя в точку с абсолютными координатами (20,40), независимо от того, где он находился до этого.

Команда вектор(20,40) смещает исполнителя в точку, расположенную на 20 шагов правее и на 40 шагов выше его текущего положения.

Важно, что для использования команды в_точкунам требуется знать, где находится начало отсчета, а при использовании команды вектор – нет, так как отсчет ведется от текущего положения исполнителя. Поэтому в большинстве случаев мы будем использовать только команды вектор.

¨ Вектор -это отрезок, имеющий направление.

Начало вектора (Dx,Dy) находится там, где был исполнитель до выполнения команды, в точке (x0, y0), конец имеет координаты (x0+Dx, y0+Dy).

xOXy OY.

Задание для Чертежника представляет собой рисунок, состоящий из отрезков. Перед началом работы исполнитель находится в точке А, после окончания работы ему надо прийти в точку Б.

Пример. Исполнитель находится в начале координат. Неизвестно, в каком положении находится его перо (опущено или поднято). Ниже даны два варианта решения задачи: с помощью команд в_точку и вектор.

КонвертТоч { подними_перо; в_точку (10, 50); опусти_перо; в_точку (60, 50); в_точку (60, 10); в_точку (10, 10); в_точку (10, 50); в_точку (60, 10); в_точку (10, 10); в_точку (60, 50); }

КонвертВект { подними_перо; вектор (10, 50); опусти_перо; вектор (50, 0); вектор (0, -40); вектор (-50, 0); вектор (0, 40); вектор (50, -40); вектор (-50, 0); вектор (50, 40); }

2 Использование процедур

Напишем с помощью Чертежника слова МАМА на экране. Заметим, что оно состоит из двух одинаковых букв А и двух одинаковых букв М. Это наводит на мысль об использовании процедур.

Научим Чертежника рисовать на экране буквы М и А одинаковой высоты. Обе буквы вписаны в прямоугольник 20 на 40, точка Б находится на расстоянии 5 от правой ножки. Заметим, что переход в точку Б означает, что исполнитель уже готов рисовать следующую букву.

БукваМ { опусти_перо; вектор (0, 40); вектор (10, -20); вектор (10, 20); вектор (0, -40); подними_перо; вектор (5, 0); }

БукваА { опусти_перо; вектор (10, 40); вектор (10, 0); вектор (0, -20); вектор (-15, 0); вектор (15, 0); вектор (0, -20); подними_перо; вектор (5, 0); }

Теперь очень легко написать основную программу:

СловоМАМА

{

БукваМ; БукваА;

}

При проверке на компьютере после нее надо записать обе процедуры.

2 Процедуры с параметрами

Теперь решим задачу, с которой Черепаха сможет справиться только с очень большим трудом (здесь надо использовать тригонометрические функции). Построим на экране такую фигуру:

Исполнитель находится в точке A, именно отсюда удобнее рисовать все треугольники — там находятся середины их оснований. Как обычно, выделяем общее и отличие:

· общее: все треугольники равнобедренные, основание горизонтально

· отличия: разная длина основания и высота — они будут параметрамипроцедуры

Включим в параметры процедуры еще цвет линии c:

Треугольник(int a, int h, int c ) { опусти_перо; цвет ( c ); вектор ( -a/2, 0 ); вектор ( a/2, h ); вектор ( a/2, -h ); вектор ( -a/2, 0 ); }

С верхними тремя треугольниками все понятно. Сложность — с тем, который «опрокинут» вниз. Однако для того, чтобы нарисовать его, достаточно задать отрицательную высоту. Окончательно основная программа принимает вид:

Программа

{

Треугольник (60, 90, 9);

Треугольник (120, 60, 10);

Треугольник (180, 30, 2, 11);

Треугольник (90, -30, 6, 12);

}

2 Циклы и переменные

Чертежник понимает команду цикла повтори и может использовать переменные. Это демонстрирует следующий пример.

Зубы { int a = 10, h = 30; повтори ( 3 ) { Треуг (a, h); a = a + 10; h = h — 10; } } Треуг (int a, int h) { опусти_перо; вектор (0, h); вектор (a, -h); вектор (-a, 0); подними_перо; вектор (a, 0); }

Здесь одновременно меняются две переменные: основание и высота, причем основание увеличивается, а высота уменьшается.

Рассмотрим еще одну задачу: с помощью исполнителя Чертежник нарисовать узор из квадратов:

Сторона каждого из квадратов и расстояние между строками и между столбцами равны 10. Приведем два способа решения этой задачи:

Узор { повтори ( 4 ) Ряд ( 4 ); } Ряд ( int n ) { повтори ( n ) { Квадрат ( 10 ); вектор ( 20, 0 ); } вектор ( 0, -20 ); вектор ( -20*n, 0 ); }

Узор { повтори ( 4 ) { повтори ( 4 ) { Квадрат ( 10 ); вектор ( 20, 0 ); } вектор ( 0, 20 ); вектор ( — 80, 0 ); } }

Первый способ использует процедуру Ряд, параметром которой является количество квадратов в строке. Обратите внимание, что тело цикла не ограничено скобками, так как содержит только один оператор. При этом соблюдается запись с отступами – тело цикла сдвинуто вправо.

Во втором способе мы фактически сразу подставили тело процедуры в основную программу. При этом получилось, что в теле внешнего цикла в основной программе находится еще один цикл (внутренний), который раньше был в процедуре. Такая конструкция называется вложенный цикл.При этом в записи тело внутреннего цикла также сдвинуто вправо относительно его заголовка.

Заметьте, что для правильной работы этих программ к ним необходимо добавить текст процедуры Квадрат.

Квадрат ( int a )

{

опусти_перо;

вектор (0, a ); вектор ( a, 0);

вектор (0, — a ); вектор (- a, 0);

подними_перо;

}

2 Сравнение Чертежника и Черепахи

естественной

Букет

{

влево ( 45 );

повтори ( 4 ) {

Цветок;

вправо ( 30 );

}

где используется процедура для построения одного цветка

Цветок

{

опусти_перо;

вперед ( 60 ); влево ( 45 );

повтори ( 3 ) {

повтори ( 2 ) {

вперед ( 25 ); вправо ( 30 );

вперед ( 25 ); вправо ( 150 );

}

вправо ( 30 );

}

влево ( 45 ); назад ( 60 );

подними_перо;

}

Благодаря естественной системе координат Черепаха отлично справилась с работой. Теперь вообразите, сколько усилий надо затратить, чтобы научить Чертежника рисовать такую фигуру.

Однако у Черепахи тоже есть недостатки. Так ей трудно начертить прямоугольный треугольник, потому что она должна знать длины всех его сторон и все углы (Чертежник легко решает эту задачу, зная длины только двух сторон, которые пересекаются под прямым углом).

2 Переменные и использование памяти

Пример 1. Построить на экране с помощью исполнителя Чертежник квадрат, длину его стороны ввести с клавиатуры и рассчитать площадь этого квадрата.

ДиалогКвадрат

{

int a;

вывод «Введите длину стороны квадрата»;

ввод a;

Квадрат ( a );

вывод «Площадь квадрата со стороной », a,

" равна ", a*a;

}

Квадрат ( int a )

{

опусти_перо;

вектор ( 0, a ); вектор ( a, 0 );

вектор ( 0, — a ); вектор ( — a, 0 );

подними_перо;

}

Пример 2. Составить программу для решения системы двух линейных уравнений:

Сначала мы должны решить эту систему в общем виде, то есть “в буквах”. Это можно сделать, выразив y из первого уравнения

и подставив результат во второе:

Выразив отсюда x, получаем

Таким образом, исходными данными являются значения a1, b1, c1, a2, b2, c2, по ним мы сначалавычисляем x, а затем – y, которые и будут результатами программы. Заметим, что систему нельзя решить этим способом, когда b1=0 или знаменатель выражения для x равен нулю. Эти случаи надо обрабатывать отдельно, сообщая об ошибке.

СистемаУравнений

{

float a1, b1, c1, a2, b2, c2, x, y, d = 0;

вывод «Введите a1, b1 и c1 »;

ввод a1, b1, c1;

вывод «Введите a2, b2 и c2 »;

ввод a2, b2, c2;

если ( b1 != 0 )

d = a2 — b2*a1/b1;

если ( d != 0 )

{

x = (c2 — b2*c1/b1) / d;

y = (c1 — a1*x) / b1;

вывод «Решение системы: x = », x, ", y = ", y;

}

иначе

вывод «Система вырожденна.»;

}

2 Цикл с параметром

Нарисуем на экране с помощью исполнителя Чертежник веер из n лучей, концы которых находятся на одном уровне по оси y, а расстояние между концами соседних лучей равно d. Исполнитель находится в точке А.

Рассмотрим разные способы решения этой задачи. Первый отрезок направлен вертикально вниз, то есть ему соответствует вектор(0,-h). После этого лучше поднять перо и вернуться обратно в точку А. Следующий отрезок рисуется командой вектор(d,-h), дальше будет вектор(2d,-h) и т.д. Заметим, что в команде вектор изменяется только координата x, которая принимает последовательно значения 0,d,2d,3d,...,(n-1)d, то есть, начальное значение x равно , цикл выполняется пока x<nd и с каждым шагом значение x увеличивается на величину d.

Для решения удобно использовать цикл с параметром, который так и называется – цикл или for (от английского for – “для”).

Веер

{

int x, h, d, n;

вывод «Введите d, h и n »;

ввод d, h, n;

цикл ( x = 0; x < n*d; x = x + d )

{

опусти_перо;

вектор ( x, -h );

подними_перо;

вектор ( -x, h );

}

Как видно из этой программы, все операции с переменной d сгруппированы в заголовке цикла внутри круглых скобок. Три части отделяются знаком “;”, так же как и конец команды:

1. Начальное условие x=0 выполняется один раз перед началом цикла;

2. Условие продолжения x<n*dговорит о том, при каком условии цикл будет выполняться (если в самом начале это условие неверно, то цикл не выполнится ни одного раза);

3. Изменение переменной цикла x=x+d -этот оператор выполняется каждый раз в конце очередного прохода тела цикла.

Как можно заменить этот цикл на цикл повтори?на цикл пока?

2 Задачи

1. Что нарисует Чертежник, выполнив программу:

Домик

{

опусти_перо;

вектор (4, 0); вектор (0, 4);

вектор (-4, 0); вектор (0, -4);

подними_перо;

вектор (0, 4); опусти_перо;

вектор (2, 2); вектор (2, -2); подними_перо;