Лекция: Элементы теории статистических решений

Функционирование больших систем происходит в условиях, когда параметры среды заранее неизвестны. Это обстоятельство вызывает неопределенность при выборе рациональных параметров систем. Например, случайными могут быть такие параметры среды, как рельеф местности, метеоусловия, уровень радиации, действия противника и т. п. В отличие от игровой ситуации, когда противоположная система разумно противодействует системе, принимающей решение, среда или природа изменяют свои параметры случайно, не преследуя собственных целей.

Математический аппарат, предназначенный для принятия решений в игровых ситуациях, в которых одна из систем случайно выбирает стратегию, называется теорией статистических решений.

Теория статистических решений оперирует играми, в которых внешняя среда или природа рассматриваются как противоположные системы. Рассмотрим модель игровой ситуации.

Система, принимающая решение, имеет множество стратегий. Среда может принимать конечное множество состояний. Вероятности состояний среды могут быть заданы в виде вектора или неизвестны. Задана матрица. Каждый элемент матрицы представляет полезность стратегии при состоянии среды .

Требуется определить такую стратегию, которая является предпочтительной в некотором смысле по сравнению с другими.

Таблица 8.3. Платежная матрица

Для решения поставленной задачи следует исключить дублирующие и заведомо невыгодные стратегии системы. Для среды этого делать не следует, так как выбор ее стратегии производится случайно.

В теории статистических решений наряду с платежной матрицей (табл. 8.3) пользуются матрицей рисков. Риском называется разность между максимально возможным выигрышем при состоянии среды и выигрышем при выборе конкретной стратегии. Обозначив максимальный элемент столбца платежной матрицы

, (8.20)

согласно определению получим

(8.21)

Матрица рисков эквивалентна платежной матрице .

Выбор предпочтительной стратегии системы может производиться в двух различных ситуациях.

1. Вероятности состояния среды заданы в виде вектора

.

В этом случае в качестве показателя эффективности выбирают среднее значение, или математическое ожидание выигрыша системы :

. (8.22)

Предпочтительной будет стратегия, при которой максимизируется средний выигрыш:

. (8.31)

Если используется матрица рисков, то соответственно

; (8.24)

. (8.25)

2. Вероятности состояния среды неизвестны. Существуют несколько критериев для определения предпочтительной стратегии системы .

Критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма) совпадает с критерием выбора стратегии, позволяющим получить нижнюю цену парной игры:

. (8.26)

Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации:

. (8.27)

Критерий Гурвица учитывает как пессимистический, так и оптимистический подходы к оценке ситуации:

, (8.28)

где .

Выбор критерия принятия решения является наиболее сложным и ответственным этапом, для которого не существует каких – либо общих рекомендаций. Выбор критерия производит руководитель системы с учетом специфики задачи и целей системы. В частности, если даже минимальный риск недопустим, то следует применять критерий Вальда. Если, наоборот, определенный риск вполне приемлем и в систему вложены средства, то выбирают критерий Севиджа. При отсутствии достаточной информации для выбора того или иного критерия возможен альтернативный подход, который связан с вычислением шансов на выигрыш на основе прошлого опыта.

Вопросы для самопроверки по разделу 8

1. Что такое игра в терминах теории игр?

2. Какая игра называется конечной?

3. В чем заключается решение игры в теории игр?

4. Как определяется верхняя цена игры?

5. Как определяется минимаксная стратегия игры?

6. Какие границы имеет выигрыш системы?

7. В каких пределах лежит фактический результат игры (цена игры)?

8. Что такое платежная матрица?

9. Как называется седловая точка платежной функции?

10. По каким правилам происходит переход от исходной задачи к симметричной двойственной?

11. Являются ли симметричные двойственные задачи взаимно двойственными?

12. Что такое взаимная двойственность?

13. Что называется теорией статистических решений?

14. Как строится матрица рисков?

15. Что такое риск в теории игр?

16. Какие критерии для определения предпочтительной стратегии вы знаете?

17. Какой критерий позволяет получить нижнюю цену парной игры?

18. Что такое минимаксная и максиминная стратегии?

19. Дайте определение оптимальных стратегий.

20. В чем суть метода Брауна?

21. Сформулируйте критерий Вальда.

22. Сформулируйте критерий Севиджа.

23. Сформулируйте критерий Гурвица.

заключение

Математические методы системного анализа и теории принятия решений, рассмотренные в данном курсе, сегодня являются необходимым инструментарием менеджера-аналитика. Они составляют необходимую часть системного анализа и активно используются в исследовательской практике организаций и предприятий различной направленности и структуры.

Их знание и использование широко применяются при отображении и моделировании реальных процессов и явлений, изначально имеющих динамику развития.