Лекция: Системы счисления. Примеры решения задач.

Представление о системах счисления.

Система счисления(далее СС) — совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками.

Наиболее известна десятичная СС, в которой для записи чисел используются цифры 0,1,:,9. Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество. Любая предназначенная для практического применения СС должна обеспечивать:

· возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;

· единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);

· простоту оперирования числами;

В зависимости от способов изображения чисел цифрами, системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. Непозиционной системой называется такая, в которой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ей позиции в изображении числа (римская система счисления). Позиционной системой счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры зависит от её позиции в числе (арабская система счисления). Количество знаков или символов, используемых для изображения числа, называется основанием системы счисления.
Позиционные системы счисления имеют ряд преимуществ перед непозиционными: удобство выполнения арифметических и логических операций, а также представление больших чисел, поэтому в цифровой технике применяются позиционные системы счисления.
Запись чисел может быть представлена в виде

,
где A(D) — запись числа A в СС D;
Di — символ системы, образующие базу.

По этому принципу построены непозиционные СС.

В общем же случае системы счисления: A(B)=a1B1+a2B2 +...+anBn. Если положить, что Bi=q*Bi-1, а B1=1, то получим позиционную СС. При q=10 мы имеем дело с привычной нам десятичной СС.

На практике также используют другие СС:

Каждая СС имеет свои правила арифметики (таблица умножения, сложения). Поэтому, производя какие-либо операции над числами, надо помнить о СС, в которой они представлены.
Если основание системы q превышает 10, то цифры, начиная с 10, при записи обозначают прописными буквами латинского: A,B,...,Z. При этом цифре 10 соответствует знак 'A', цифре 11 — знак 'B' и т.д. В таблице ниже приводятся десятичные числа от 0 до 15 и их эквивалент в различных СС:

В позиционной СС число можно представить через его цифры с помощью следующего многочлена относительно q:

A=a1*q0+a2*q1+...+an*qn (1)
Выражение (1) формулирует правило для вычисления числа по его цифрам в q-ичной СС.