Лекция: Ошибки воспроизведения типовых участков
программных траекторий.
Будем рассматривать упрощённые модели приводов подач.
.
G E X X(или Y)
(-) Kv 1/Р
G
tn~3T
T t
Х(р) Kv/p 1 1
W(p) = ¾¾ = ¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾¾
G(р) 1+Kp/p 1+p/Kv 1+Tp
Где Kv – добротность по скорости (Кv = Kkп)
T – эквивалентная постоянная времени.
1) Воспроизведение отрезка прямой.
xn(t)
x(или y)
d x(t)
t
во времени
n
Так как G = n × t, то G(p) = ¾
p2
n 1 T T2
x(p) = G(p) = W(p) = ¾¾¾¾ = n(¾ — ¾ + ¾¾)
p2(1+Tp) p2 p 1+Tp
x(t) = n×(t – T + Te-t/T ) при t>tп=3T
x(t) = n(t-T)
Þ x(t) зависит по времени от xn(t) на Т.
В режимах приводов подачи станков
Kv = 10 ± 50%, так как T=0,02 ¸ 0,1 c.
Скорость ошибки привода подачи:
Вс = xn(t) – x(t) = n0T
Например: при n = 6 м/мин и Т = 0,02 с.Þ Вс = 2 мин.
®
у nу ®
nк программная
j траектория
® 1
nx реальная
траектория
A Dу
2 Dх C
j
0 х
1 – изображающая точка.
2 – реальная точка
® ® ® ®
Dс = Dх+Dу, Dс – скоростная ошибка.
Найдём контурную ошибку как АВ = АС – ВС, где АВ – кратчайшее расстояние между параллельными линиями.
АС = Dу cos j
ВС = Dх sin j; так как Dх =Vk/Kvx=Vk/Kvx × cos j и
Dу = Vy/Kvy = Vк/Kvy × sin j
... .
Vx = xn = x; nу = yn = y
dkL = Vk/Kvy × sin j cos j — Vk/Kvx × cos j sin j =
= Vk × (1/Kvy –1/Kvx) × (sin 2j)/2
Þ dkL = 0, если Кvx = Kvy (приводы идентичны)
б) dkLmax = Vk/2×(1/k/Vy-1/k/Vx) при j = 45°
в) Dху ¹ dкL
где Dxy – суммарная динамическая ошибка (расстояние между точками 1 и 2).
y
программная
1 траектория
к 2
j
0 х
dk2 – контурная ошибка (расстояние между прямыми).
2) Воспроизведение дуги и окружности.
Y A
nk At
1 Dt
R1 2
R2
DN
x
® ®
åдин. ош.: Dух =Dt + DN
®
Dt — продольная составляющая.
®
DN — нормальная составляющая.
Контурная ошибка:
dkR = R1 – R2
R1 – радиус программируемой окружности.
R2 – радиус рассматриваемой окружности.
___________
Из DОА2: Rz = Ö(R1+DN)2+Dt2
где Dt=Dx sin j — Dy cos j
DN=Dx cos j +Dy sin j, где Dх, Dу – динамическая ошибка по
х и у.
j=wt=Vk/R1×t
Так как Xn(t) = R1 × cos wt; Xn(t) = nx(t) = — w R1 sin wt
Yn(t) = R1 × sin wt Yn(t) = Vy(t) = w R1 cos wt
Vx(t) wR1
Þ Dx = ¾¾ = — ¾¾ · sin wt
Kvx Kvx
Vy(t) wR1
Dy = ¾¾ = ¾¾ · cos wt
Kvy Kvy
______________________________________
Найдём R2 = Ö(R1+Dx×cos j+Dy×sinj)2+(Dx sin j + Dy cos j)2 =
_______________________________
= Ö R12+Dx2+Dy2+2R1(Dx cos j+Dy sin j)
После подстановок и преобразований:
__________________________________________
R2 = R1×Ö 1+w2[cos2wt/Kvy2+sin2wt/Kvx2-sin2wt/w×(1/Kvy-1/Kvx)]
окончательно
_________________________________________
dk2 = R1×{1-Ö1+w2[cos2wt/Kvx2+sin2wt/Kvx2-sin2wt/w×(1/Kvy-1/Kvx)]
имеем
___________
dkR = R1×{1-Ö1+(Vk/(R1Kv))2} – в случае симметричных производных.
Þ dkR = 0, если 1+(Vk/(R1Kv))2 = 1, то есть
а) R1 ® ¥; б) Kv ® ¥; в) Vk ® 0
единственный
способ, наиболее
реальный
Реальная возможность повышения добротности за счёт комбинированного управления.
При воспроизведении скорости:
. ..
Gx = R1×cos wt Gx =... Gx =.. .
Þ. Þ. .
Gy = R1×sin wt Gy =... Gy =.. .
Ошибки дискретизации входных воздействий.
Особенностью систем ЧПУ является дискретный характер выдачи на приводы исполнительных механизмов.
Это связано с цикличностью вычислений системы ЧПУ очередной точки заданной программой управления с периодом дискретности Т0.
На входе привода вместо непрерывного сигнала будет формироваться ступенчатый сигнал и появляться дополнительная погрешность.
1) Дополнительная погрешность при воспроизведении отрезка прямой вместо x (t) = n×t подаётся
[n×t0] = n×nT0, n=0, 1, 2,.. .
Þ Dхдоп = x[(n+1)T0] – x[nT0] =nT0
у х(t)=Vt
x[nT0]
Dx
T0 2T0 3T0 4T0 x
2) Дополнительная погрешность при воспроизведении окружности на входах приводов.
x[nT0] = R cos (w×nT0)
y[nT0] = R sin (w×nT0) где w = Vk/R
Dxyдоп = Ö(Dxдоп)2 +(Dудоп)2 = 2R sin (wT0/2) = 2R sin (Vk/R×T0/2) » Vx×T0
(при малых T0)
Так как динамическая дополнительная ошибка из – за квантов входных воздействий по времени в обоих случаях пропорциональна Vk и T0.
Þ для уменьшения Dдоп необходимо, что бы T0 стремилось к 0 (T0®0), то есть T0 = 5×10-3 сек. и менее.
Выбор периода дискретности T0 = Tk в цифровых СПУ.
1) Выбор Tk по условию обеспечения требуемой точности воспроизведения.
Допущения: а) привод безинерционный
б) привод способный воспроизвести дискретный входной сигнал, содержащий конечные разности до n-ого порядка.
Ñx[nTk] Ñ2x[nTk]
x[(n+1)Tk] = x[nTk] + ¾¾¾¾ + ¾¾¾¾ +... +
1! 2!
Ñmx[nTk]
+ ¾¾¾¾
m !
в) считаем, что с ростом m разности Ñmx[nTk] убывают, тогда ошибка экстраполяции:
Ñm+1x[nTk]
½dэ½ £ ¾¾¾¾¾
(m+1)!
В частном случае, при воспроизведении окружности с радиусом R, имеем x(t) = R sin wt, при этом
½Ñm+1x[nTk]½ » R wm+1Tkm+1 следовательно:
_____________
Tk £ 1/w m+1Ö½dmax½(m+1)!/R, где ½dmax½- допустимая погрешность воспроизведения окружности.
Пример:
Если R=1 м, w=R×Vx=1 м × 0,1 м/c=0,1 с-1
½dmax½=10-4 м.
а) при m=0 (в случае экстраполятора 0-го порядка на входе привода) Tk £ 0, 001 c (1 мс).
б) при m=1 (в случае экстраполятора 1-го порядка Tk = 0, 14 c (140 мс)).
Вывод: Так как определяется не только с заданной погрешностью, но и зависит от типа (порядка) экстраполятора на входе.
Tk безинер-
УЧПУ Эm ционный
привод
2) Выбор Tk – по условию устойчивости замкнутого контура положения.
1 – е-Tkp
W0(p) = ¾¾¾
p
Э0 W(p)
(-)
в составе
УЧПУ
Частный случай, важный для практики:
Kv
W(p) = ¾¾¾¾, при этом
(1+Tp)2p
p2 [1 + (pT/Tk)2]2
Kvкрит = ¾¾ × ¾¾¾¾¾¾
4Tk [1 — (pT/Tk)2]2
где Kvкрит – критическая величина добротности по скорости при которой ЦС находится на границе устойчивости.
Если Т=0,03 с, то зависимость Кvкрит=¦(Tk)
Кvкрит, 1/c
60
40
20 10-4 10-3 10-2 10-1 1 Тк, с
-4 -3 -2 -1 0 lg Tk
Другие известные условия (приближённые) для выбора Tk .
а) Тk £ p/wc (Теорема Котельникова)
б) Tk £ 2p/2wc+w (из рассматриваемой т. Котельникова)
в) Тк £ 1/wc×2m/(m+1) m — показатель колебательности,
то есть Тк £ 1¸2/wc, если m = 1 и выше.
wс – частота среза привода W(p)
w — частота входного сигнала.
® ® ® ® ® ® ®
Fc = Fcx + Fcy = (Fрез x + Fрез y)+(Fтр x+Fтр y)
Составление ошибок от действия этих сил (вектор
® ®
Fрез противоположен по направлению вектору Vx).
Динамические ошибки.
Fрез
а) dрез х = ¾¾ · cos j
КFx