Лекция: Графическое решение игр (2 x n) и (m x 2)

Математическая модель конечной парной игры с нулевой суммой представляет собой так называемую платежную матрицу размера, где – число стратегий системы; – число стратегий системы. Элемент матрицы представляет собой выигрыш системы, если она применяет стратегию, а система использует стратегию .

Если каждая из систем выбирает однозначно с вероятностью 1 некоторую стратегию, то решение игры будет в чистых стратегиях. Оптимальное решение игры соответствует максимально возможному выигрышу системы (минимально возможному проигрышу системы ). Таким образом, решение игры заключается в нахождении оптимальных чистых стратегий систем.

Таблица 8.2. Платежная матрица размера

Пусть система выбирает стратегию. Так как система стремится минимизировать свой проигрыш, то она выберет стратегию, при которой выигрыш системы минимален. Минимальный выигрыш системы при выборе стратегии будет

.

Чтобы обеспечить себе максимальный выигрыш, система должна выбирать такую стратегию, при которой ее минимальный выигрыш максимален:

. (8.1)

Величина называется нижней ценой игры и представляет собой гарантированный выигрыш системы. Стратегия, обеспечивающая системе получение, называется максиминной.

Аналогично система при выборе стратегии будет иметь проигрыш

,

так как система выберет стратегию, при которой проигрыш системы максимален. Следовательно, оптимальной для системы будет та стратегия, при которой ее максимальный проигрыш минимален:

. (8.2)

Величина называется верхней ценой игры, а соответствующая проигрышу стратегия системы — минимаксной.

Таким образом, выигрыш системы или проигрыш системы при выборе ими оптимальных стратегий не может быть больше верхней цены игры и не может быть меньше нижней цены игры. Фактический результат игры, называемый ценой игры, лежит в пределах

(8.3)