Лекция: Решение систем линейных уравнений.
Система т линейных уравнений с п неизвестными (или линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида:
Здесь x1, х2, ..., хn — неизвестные, которые надо определить; a11, a12, ..., атп - коэффициенты системы; b1, b2,… bт - свободные члены (предполагаются известными). Индексы коэффициентов аijсистемы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент.
Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных, имеет много разных вычислительных схем. Рассмотрим схему единственного деления, алгоритм которого состоит в следующем.
Прямой ход: путем элементарных преобразований строк (делением элементов строки на число, вычитание из одной строки другой строки, умноженной на число) матрица системы приводится к верхнетреугольному виду.
С этого момента начинается обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем переменную через другие и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех переменных, получаем решение [1, с. 111].
Реализуем данный алгоритм для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными средствами MS Еxcel (расчетные формулы: рисунок 1, таблица значений: рисунок 2).
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причем для таких уравнений решение существует и оно единственно).
Описание метода. Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)
с определителем матрицы системы А, отличным от нуля, решение записывается в виде
где
(i-й столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
Пусть дана система линейных уравнений с тремя неизвестными:
Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единственное. Решение системы определяется формулами
где х1, х2, х3 — корни системы уравнений; Δ — главный определитель системы; Δх1, Δх2, Δх3 — вспомогательные определители [1, с. 125].
Средствами MS Еxcel правило Крамера можно реализовать следующим образом (расчетные формулы: рисунок 3, таблица значений: рисунок 4).
Рисунок 3
Рисунок 4
Преобразуем рабочие листы с помощью команды меню Сервис – Параметры. На вкладке Вид убираем сетку, заголовки строк и столбцов, полосы прокрутки. Защищаем листы паролем (Сервис – Защита – Защитить лист), предварительно сняв ярлык «Защищаемая ячейка» с тех ячеек, куда вводят данные. Теперь разработанные шаблоны готовы к использованию для автоматизации рутинных «ручных» вычислений.