Лекция: Имитационная модель движения объекта
Основные обозначения систем координат и кинематических параметров движения объекта, используемые в работе:
ИСК – инерциальная система координат ( ), правый ортогональный трехгранник с началом в ц.м. (т. ) Земли (ось направлена по оси суточного вращения Земли, ось — в точку весеннего равноденствия), (рис.1.1);
ССК – связанная с объектом система координат, правый ортогональный трехгранник с началом в его ц.м. (ось — продольная ось, ось — находится в плоскости симметрии объекта и перпендикулярна продольной оси, ось образует правый ортогональный трехгранник — рис.2.1);
— гринвичский навигационный трехгранник с началом в ц.м. Земли (рис.2.2);
— географический сопровождающий трехгранник с началом в ц.м. объекта (рис.2.2), (рис.2.3);
— радиус — вектор и вектор абсолютной линейной скорости ц.м. объекта относительно инерциального пространства в проекциях на оси гринвичской системы координат;
— матрица направляющих косинусов и соответствующие ей углы Эйлера-Крылова (курс, тангаж и крен) определяют угловую ориентацию объекта относительно географического сопровождающего трехгранника (рис.2.4);
ПСК – приборная (правая ортогональная) система координат ( ), связанная с измерительным блоком (ИБ) БИИМ;
— кватернион положения и соответствующая ему матрица ориентации определяют угловую ориентацию ИБ БИИМ относительно географического сопровождающего трехгранника ;
— матрица ориентации, которая характеризует угловую ориентацию ИБ БИИМ относительно ИСК;
,, — приращения соответственно угла поворота ИБ, кажущейся линейной скорости и кажущегося перемещения на шаге интегрирования (эти данные поступают из контроллера ИБ БИИМ);
здесь — составляющие вектора угловой скорости вращения ИБ БИИМ относительно инерциального пространства, измеряемые блоком гироскопов в проекциях на приборные оси; — составляющие вектора кажущегося ускорения, измеряемые акселерометрами ИБ БИИМ в проекциях на приборные оси .
Если не учитывать упругих деформаций корпуса, то движущийся объект можно рассматривать как твердое тело с шестью степенями свободы, движение которого состоит из поступательного движения центра масс (ц.м.) и вращательного движения вокруг ц.м. Поступательное движение определяется координатами местоположения, векторами линейной скорости и ускорения ц.м. относительно выбранной навигационной системы координат, а вращательное движение — параметрами угловой ориентации относительно некоторого опорного сопровождающего трехгранника, векторами угловой скорости и углового ускорения корпуса объекта относительно навигационного или сопровождающего трехгранника.
В качестве навигационной системы координат будем использовать связанный с Землей правый ортогональный трехгранник (гринвичский навигационный трехгранник)с началом (рис.2.2), расположенном в центре масс Земли, а в качестве сопровождающего объект трехгранника – географический сопровождающий трехгранник (рис.2.2), обладающий следующим вектором угловой скорости
, (2.1)
где — угловая скорость суточного вращения Земли.
Местоположение ц.м. объекта в навигационной системе координат может быть определено либо декартовыми координатами радиус-вектора, соединяющего ц.м. Земли и объекта, либо задано геодезическими (географическими) координатами, связанными с геодезической вертикалью и вектором нормальной силы тяжести (рис.2.2). Между ними существует известная связь.
Обычно считается, что система координат вращается относительно ИСК с постоянной угловой скоростью суточного вращения Земли. Ориентация системы координат относительно определяется двумя углами и (рис.2.3) или матрицей направляющих косинусов
, (2.2)
где — геодезические (географические) координаты места объекта.
Рис.2.1. Система координат, связанная с корпусом объекта
Рис.2.2. Связанный с Землей правый ортогональный трехгранник
Рис.2.3. Ориентация географического трехгранника относительно системы координат
Ориентация связанной с объектом системы координат относительно трехгранника задается тремя углами Крылова (рис.2.4): — курсом, — углом продольных колебаний (угол тангажа) и — углом боковых колебаний (угол крена) либо матрицей направляющих косинусов
(2.3)
либо кватернионом, где — кватернион привязки осей измерительного блока БИИМ к осям объекта.
Рис.2.4.
Параметры поступательного движения ц.м. объекта – навигационные параметры (составляющие вектора линейной скорости относительно инерциального пространства в проекциях на оси географического сопровождающего трехгранника и оси гринвичской навигационной системы координат ПЗ-90, а также географические и декартовые координаты) формируются интегрированием кинематических уравнений поступательного движения путем задания соответствующих начальных условий,,,, и следующих линейных ускорений в проекциях на географические оси:
- на баллистической траектории:
— ускорения от силы тяжести —
, [Бромберг]
где =9.78049 – ускорение силы тяжести на экваторе земного эллипсоида (м/с2);
=0.005317 (безразмерная величина, имеет порядок малости ); – большая и малая полуоси эллипсоида вращения Земли; – квадрат первого эксцентриситета эллипсоида вращения Земли; — сжатие;
(параметры общеземного эллипсоида ПЗ-90:
=6378136 (м); =1/298.25784; =6378163 -средний экваториальный радиус Земли, (м); =7.2921151467e-5 -угловая скорость суточного вращения Земли(рад/с))
— кориолисова ускорения — ;
- на траектории спуска объекта в плотные слои атмосферы:
— ускорения от силы тяжести ;
— кориолисова ускорения — ;
— торможения корпуса в атмосфере — ;
— ускорения от аэродинамических сил при использовании крыльев и рулей управления — .
Могут быть заданы также линейные вибрации объекта и аномалии гравитационного поля.
Составляющие вектора линейной скорости относительно Земли формируются как
, (2.4)
а угол тангажа для вектора линейной скорости ц.м. на баллистической траектории
.
Текущие значения (истинные) координат местоположения ц.м. объекта формируются как
, (2.5)
где
,, — радиусы кривизны нормальных сечений соответственно в меридиональной плоскости и в плоскости первого вертикала.
Вращательное движение объекта (текущие значения параметров ориентации) формируется путем задания начальных значений углов курса (равен расчетному пеленгу траектории полета объекта), тангажа и крена, и их колебательных составляющих с учетом:
- на баллистической траектории:
— быстрого вращения вокруг продольной оси и конического движения относительно ц.м.
, ;
где,,; рад/с;,; (рад/с);
- на траектории спуска объекта – возможно различное маневрирование по курсу, тангажу и крену.
Текущие (истинные, модельные) значения навигационных параметров точки размещения ИБ БИИМ на объекте формируются с учетом ее отстояния от ц.м. объекта и значений вектора угловой скорости объекта:
- для составляющих вектора относительной линейной скорости в проекциях на связанные с объектом оси
, где ;
и оси географического сопровождающего трехгранника
;
- для составляющих вектора абсолютной линейной скорости (т.е. относительно инерциального пространства) будем иметь
,
; где ;
- для координат местоположения объекта
, ,
, (2.6)
где .
Истинные (модельные) значения декартовых координат (проекций радиус-вектора объекта на гринвичские оси ) получим из следующих соотношений:
(2.7)
где .
На выходе имитационной модели движения объекта формируются (восстанавливаются из кинематических параметров движения объекта) текущие истинные значения векторов угловой скорости и кажущегося ускорения точки размещения ИБ БИИМ на объекте.
Вектор угловой скорости вращения ИБ БИИМ относительно инерциального пространства формируется из кинематического уравнения [1]:
(2.8)
где — кососимметрическая матрица, соответствующая вектору угловой скорости вращения трехгранника; — начальное значение матрицы .
Так как ИБ БИИМ жестко установлен в осях объекта, то
, (2.9)
где — матрица привязки осей ИБ к осям объекта.
Матрица формируется по заданным значениям параметров согласно выражению (2.3), а матрица — по текущим значениям, согласно (2.2), где вместо координаты следует использовать .
Вектор кажущегося ускорения (измеряемый блоком акселерометров) в месте установки ИБ БИИМ при допущении, что объект является абсолютно жестким, может быть представлен виде:
, ;
, (2.10)
где;; — аномалии гравитационного поля Земли; — вектор угловой скорости вращения объекта; — радиус-вектор, характеризующий отстояние ИБ БИИМ от ц.м. объекта в связанных осях .