Лекция: Решение треугольника

Решением треугольника называется определение всех его сторон и углов по трем известным элементам, из которых хотя бы один должен быть его стороной.

Решение треугольника осуществляют по формулам соотношений его элементов, известных из курса тригонометрии.

Обозначив в треугольнике AВС (рисунок 31) стороны через а, в и с, а углы через А, В и С, запишем основные соотношения:

А + В + С = 180° (теорема суммы углов);

(теорема синусов);

а2 = в2 + с2 – 2·в·сcos A (теорема косинусов);

(теорема тангенсов)

и дополнительные соотношения:

Sin A = Sin· (B + C);

.

Рисунок 31 – Треугольник

Пример. Пусть в треугольнике ABC (рисунок 31) известны сторона в и углы А и В. Необходимо найти угол С и стороны а и с.

Решение проводят в следующем порядке:

— угол С находят по теореме суммы углов

— С = 180о – (А + В);

— стороны а и с вычисляют по теореме синусов

; ;

— контроль вычислений осуществляют по формуле

.

Пример вычислений приведен в таблице 9.

Таблица 9 – Решение треугольника

Контрольные вопросы и упражнения:

1. Дать определение прямой и обратной геодезических задач.

2. Дать вывод формул решений прямой (обратной) геодезической задачи.

3. Решить прямую задачу по данным: x1 =6 104 172,8; y1 = 5 565 542,8;

s = 4 021,4; α1, 2 =57°57'54".

Ответ: x2 = 6 106 212,4; у2 = 5 568 802,5.

4. Решить обратную задачу по данным:

5. Решить треугольник по данным: