Лекция: Обратная геодезическая задача
Обратной геодезической задачей называется способ определения дирекционного угла и расстояния между двумя точками по известным их координатам.
Возвратимся к рисунку 30. Из условия обратной задачи известны: прямоугольные координаты точек А и В (х1 и y1; х2 и y2).
Необходимо найти расстояние s между точками А и В и дирекционный угол α1, 2 из точки А на точку В.
Решение. Искомые величины находят из соотношений прямоугольного треугольника ABC:
tg α1, 2 =; s= = =. (10)
По значению тангенса с помощью тригонометрических таблиц определяют величину только острого угла. Острый угол, отсчитываемый от ближайшего направления оси абсцисс (северного или южного) до направления данной линии, называется румбом и обозначается буквой r.
Для отыскания значения дирекционного угла по значению румба определяют четверть, в которой находится искомое направление.
Четверть, в которой находится направление АВ, определяют по знакам приращений координат Δх и Δу, вычисляемых как разности абсцисс и ординат:
Δх = x2 – x1; Δу = y2 – у1[4].
Формулы перехода от румба к дирекционному углу в зависимости от знака приращения координат приведены в таблице 7.
Таблица 7 – Переход от румба к дирекционному углу
| Четверть круга | Знак приращения | Формулы перехода от румба к дирекционному углу | |
| Δх | Δу | ||
| I II III IV | + – – + | + + – – | α = r α = 180o – r α = 180o + r α = 360o – r |
Искомое расстояние S определяют по формулам (10).
Наличие двух вариантов формул обеспечивает надежный контроль вычисления расстояния.
Вычисление расстояний и дирекционных углов при решении обратной геодезической задачи производят с использованием вычислительных машин и таблиц натуральных значений тригонометрических функций в следующем порядке, таблица 8:
Таблица 8 – Решение обратной геодезической задачи.
| № действия | Элементы формул | Величина |
| y2 у1. Δу = (4) – (2) x2 x1 Δх = (3) – (1) tg α1, 2 = (6): (5) r | 7 579 739,3 7 580 202,1 — 462,8 6 406 199,0 6 411 279,2 — 5 080,2 0,091 099 5о 12'19" |
Продолжение таблицы 8
| № действия | Элементы формул | Величина |
| α1, 2 Sin α1, 2 Cos α1, 2 S1 S2 Sср | 185о 12'19" 0,090 724 0,995 786 5 101,2 5 101,2 50 101,2 |
— выписывают координаты исходных пунктов. х1, y1, х2, у2 (действия 1 ‑ 4);
— вычисляют приращения координат Δх и Δу (действия 5 и 6); при этом всегда из координат второй точки алгебраически вычитают координаты первой точки;
— вычисляют тангенс дирекционного угла (действие 7);
— по тангенсу угла находят румб, который затем переводят в дирекционный угол с помощью таблицы 7, выбирают из таблиц синус и косинус этого угла (действия 8 – 11);
— дважды вычисляют расстояние s и за окончательное значение берут среднее из обоих результатов, при этом расхождение S1 – S2 не должно превышать более двух единиц последнего знака (действия 12 – 14).