Лекция: Консервативные системы

Второй закон Ньютона – источник многих важных систем второго порядка. Например, рассмотрим частицу массы, двигающуюся вдоль оси под действием нелинейной силы. Уравнение движения имеет вид

.

Отметим, что мы предполагаем не зависящей от и, поэтому рассматривается движение, не зависящее от времени, и без затухания.

Эти предположения позволяют утверждать, что система сохраняет энергию. Пусть – потенциальная энергия системы, определяемая уравнением. Тогда

. (1)

Умножим обе части уравнения на и запишем следующее соотношение

.

Тогда величина в квадратных скобках есть константа (и не зависит от времени), то есть

.

Но первое слагаемое есть кинетическая энергия, поэтому заключаем, что полная энергия системы

постоянна во времени. Системы такого типа называются консервативными.

Сформулируем строгие определения.

Непрерывно-дифференцируемая функция называется первым интегралом системы

,

в области, если постоянна на любом решении системы.

Можно показать, что в рассмотренном примере – первый интеграл исходной системы.

Если первый интеграл существует, то он не единственный, т.к. если – первый интеграл, то и, где – константа, также первые интегралы. Тривиальные первые интегралы, тождественно равные постоянной, мы рассматривать не будем.

В определении первого интеграла сказано, что есть константа. Тогда при уравнение определяет линии уровня первого интеграла. Рассмотрим какую-нибудь одну линию уровня

.

Пусть и пусть – траектория системы, проходящая через точку фазовой плоскости. Поскольку первый интеграл постоянен на траектории, то

.

Значит, траектория, проходящая через точку, лежит на линии уровня. Можно показать, что всякая линия уровня состоит из объединения непересекающихся траекторий.

Обычно первый интеграл получают однократным интегрированием дифференциального уравнения

, .

Если система имеет нетривиальный первый интеграл на всей плоскости (т.е. ), то она называется консервативной.

Пример 5.5.1

Показать, что система консервативна, а система неконсервативна.

Решение. Найдем первые интегралы систем, если это возможно. Для первой системы имеем

.

Первый интеграл можно записать как. Функция определена на всей плоскости, поэтому система консервативна.

Для второй системы имеем

, .

Тогда первый интеграл можно записать как,. Очевидно, что первый интеграл здесь не определен на всей плоскости и не существует никакого способа расширить его область определения. Система не консервативна.

Пример 5.5.2

Показать, что консервативная система не может иметь притягивающих неподвижных точек.

Решение. Пусть система консервативна и – притягивающая неподвижная точка. Тогда первый интеграл будет иметь в бассейне аттрактора одно и то же значение, т.к. непрерывна, принимает на всякой траектории постоянное значение, а все траектории «текут» в. Значит, в бассейне аттрактора – константа, но это противоречит нетривиальности на Какие же неподвижные точки могут встречаться в консервативных системах? Приведем еще один пример.

Пример 5.5.3

Рассмотрим частицу массы, двигающуюся в потенциале с двумя ямами. Найти неподвижные точки соответствующей системы и определить их тип.

Решение. Сила определяется как

,

поэтому уравнение движения имеет вид

.

Перепишем уравнение как систему

,

где определяет скорость частицу. Легко видеть, что здесь три неподвижных точки:, и. Находим матрицу Якоби

.

В точке. Здесь дискриминант, поэтому – седло. Две другие неподвижные точки – центры. Как известно, центр требует повышенного внимания, т.к. весьма чувствителен к нелинейным возмущениям. Но не в этом случае. Здесь первый интеграл имеет вид

и является константой на каждой траектории системы. Построение фазового портрета системы показывает, что типы неподвижных точек сохраняются.

Итак, траектории рассмотренной системы периодические, за исключением положений равновесия и двух особых траекторий, стартующих сколь угодно близко от и сколь угодно близко подходящих к. Траектория, стартующая «в неподвижной точке» и финиширующая в ней же, называется гомоклинической орбитой. Такие траектории обычны в консервативных системах, но исключительно редки в неконсервативных. Заметим также, что гомоклиническая орбита не соответствует периодическому решению.

Рассмотрим сейчас теорему о нелинейных центрах для систем 2-го порядка. Теорема утверждает, что центры наблюдаются в точках локальных минимумов первых интегралов. То есть нейтральная устойчивость при малых колебаниях наблюдается в глубине потенциальной ямы, вне зависимости от ее формы.

Теорема 5.5.1. Пусть задана система

,

и – непрерывно-дифференцируемая функция. Предположим, что существует нетривиальный первый интеграл и – изолированная неподвижная точка. Если точка локального минимума первого интеграла, то все траектории, достаточно близкие к, замкнуты.

Набросок доказательства. Поскольку константа на траекториях, каждая траектория лежит на некоторой контурной линии. Возле всякого локального минимума (максимума) контурные линии замкнуты. Легко понять, что на каждой контурной линии лежит только одна траектория, т.к. – изолированная неподвижная точка. Поэтому все траектории в достаточно малой окрестности неподвижной точки замкнуты.

Замечание 1. Эта теорема верна также и для локального максимума. В доказательстве достаточно лишь заменить на .

Замечание 2. Условие изолированности неподвижной точки не является необходимым. Контрпример рассматривается в упражнениях.