Лекция: Классификация линейных систем

Рассмотрим линейную систему с произвольной -матрицей Нашей целью является классификация всех возможных фазовых портретов. В Примере 4.1.1 иллюстрируется схема такого исследования. Оси координат представляют собой особые траектории: к ним стремятся другие траектории при. Если взять начальную точку на одной из осей, то при она остается на этой оси.

В общем случае такие особые траектории не обязательно лежат на координатных осях. Рассмотрим способ их нахождения. Предположим, что такие траектории задаются функцией

, (2)

где — некоторый вектор, — показатель роста. Как, так и должны быть найдены.

Подставим в систему и, после сокращения на, придем к уравнению

. (3)

Это уравнение хорошо известно из курса алгебры. Оно определяет собственный вектор, соответствующий собственному значению. Процедура нахождения собственных значений и собственных векторов также хорошо известна. Если матрица, например, имеет два действительных различных собственных значения и, то им соответствует два линейно независимых собственных вектора и. Поэтому общим решением системы будет

,

где и — произвольные константы. Собственные векторы определяют прямые, на которых лежат особые траектории. Эти прямые называются главными направлениями.

Пример 4.2.1

Найти главные направления, частное решение, удовлетворяющее начальному условию, и построить фазовый портрет системы .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни и. Находим собственные векторы. Для решаем систему

.

Собственный вектор не может быть нулевым, поэтому считаем, где. Например, можно взять .

Аналогично получаем второй собственный вектор в виде при, или. Таким образом, главные направления лежат на прямых и .

Общее решение уравнения имеет вид

,

где. Подставим в него значения,, и получим, откуда. Тогда частное решение уравнения можно записать в виде

.

Собственные функции и являются базисными. Всякое решение системы выражается через их линейную комбинацию. Первая функция монотонно возрастает, вторая убывает. Поэтому поток на первой прямой движется от неподвижной точки, а на второй – к неподвижной точке. Это означает, что есть седло. Все остальные траектории (кроме самой неподвижной точки и главных направлений) при приближаются к неустойчивому многообразию, т.е. к прямой, и при приближаются к устойчивому многообразию, т.е. к прямой. Фазовый портрет системы приведен на Рис. 4.2.1.

Пример 4.2.2

Нарисовать эскиз фазового портрета для случая .

Рис. 4.2.3а Рис. 4.2.3б

Фазовый портрет изображен на Рис. 4.2.2. Если поменять на нем направления на противоположные, что соответствует, то получится неустойчивый узел.

Пример 4.2.3

Рассмотреть случай комплексных .

Решение. Если собственные значения комплексные, то неподвижная точка есть центр (Рис. 4.2.3а), или фокус (Рис. 4.2.3б). Мы уже видели пример с центром, когда рассматривали простой гармонический осциллятор в разделе 4.1. Траектории центра являются замкнутыми линиями. Очевидно, центр есть нейтрально устойчивая неподвижная точка. Фокус появляется, когда рассматривается осциллятор с трением. Траектории уже не будут замкнутыми, т.к. с каждым витком теряется энергия.

Для подтверждения этих предположений напомним, что собственные значения находятся по формуле

,

где — след матрицы (сумма элементов главной диагонали), — ее определитель. Для комплексных корней мы должны предположить, что. Запишем собственные значения в виде

,

где,,. Тогда, как известно, общее решение системы можно представить в виде линейной комбинации членов и. Очевидно, если, то линейная комбинация задает затухающие колебания; если — амплитуда колебаний возрастает. Первый случай соответствует устойчивому фокусу, второй – неустойчивому.

Если, т.е. собственные значения чисто мнимые, то решение задает периодическую функцию с периодом. Колебания имеют постоянную амплитуду, и соответствующий фазовый портрет – центр.

Пример 4.2.4

Рассмотреть случай равных корней.

.

Это означает, что вектор также собственный. Легко видеть, что матрица должна быть диагональной, т.е.

.

Если, то все траектории лежат на прямых, проходящих через начало координат. Неподвижная точка называется дикритическим (звездным) узлом (Рис. 4.2.4). Если, то вся плоскость состоит из неподвижных точек.

В случае единственности собственного вектора (более точно — когда пространство собственных векторов одномерно) матрица имеет вид

,

где. Этот факт рассматривается в Упражнениях. Неподвижная точка называется вырожденным узлом. Для прояснения сути обратимся к графической иллюстрации.

Как упоминалось выше, обыкновенный узел имеет два различных главных направления, соответствующим двум линейно независимым собственным векторам. Все траектории, кроме самой неподвижной точки, стремятся стать при параллельными «медленному» направлению и при — «быстрому» (Рис. 4.2.5a). Предположим, что мы стали изменять коэффициенты системы так, чтобы главные направления сближались и, в конце концов, слились в одно направление. Тогда фазовый портрет примет вид как на Рис. 4.2.5б и будет называться вырожденным узлом.

,, .

1. Если, то собственные значения действительные и разных знаков, поэтому неподвижная точка – седло.

2. Если, то собственные значения действительные одного знака, или комплексно-сопряженные. Если, то неподвижная точка – узел; если, то фокус. Границей между узлами и фокусами является линия. На ней расположены звездные и вырожденные узлы.

Как известно из курса дифференциальных уравнений, устойчивость или неустойчивость неподвижных точек определяют знаки действительных частей собственных значений. Если, то действительные части корней и отрицательны, и неподвижная точка устойчива. Если, то неподвижная точка неустойчива. Наконец, если, то корни чисто мнимые, и неподвижная точка нейтрально устойчива (центр).

3. Если, то, по крайней мере, одно из собственных значений равно нулю. Тогда не является изолированной неподвижной точкой. Если матрица – нулевая, то вся плоскость состоит из неподвижных точек, в противном случае имеется прямая, проходящая через начало координат, и состоящая из неподвижных точек.

Рис. 4.2.6

На Рис. 4.2.6 показано, что узлы, фокусы и седла являются главными типами неподвижных точек. Дикритические и вырожденные узлы (расположены на параболе), центры, а также неизолированные неподвижные точки (расположены на горизонтальной оси) представляют собой граничные случаи, потому что встречаются на линиях плоскости. Из этих граничных случаев центры наиболее важны как в теоретическом, так и в практическом смысле.

Пример 4.2.5

Определить тип неподвижной точки для системы с матрицей .

Решение. Здесь, поэтому неподвижная точка – седло.

Пример 4.2.6

Повторить исследование для системы с матрицей .

Решение. Здесь и. Поскольку и, то неподвижная точка – устойчивый узел.