Лекция: Доказательство отсутствия предельного цикла

Предположим, что численные эксперименты показали, что система не имеет периодических решений. Как это можно строго доказать? В последней части раздела 6 мы представим метод, основанный на теории индексов. Сейчас же рассмотрим три пути «исключения» замкнутых орбит. Они имеют ограниченное применение, но во многих случаях очень удобны и эффективны.

Рассмотрим систему вида

для некоторой непрерывно-дифференцируемой однозначной скалярной функции. Мы можем называть такую систему градиентной (т.к. обозначает градиент) с потенциальной функцией. Другими словами, правые части системы есть производные по от неизвестных и (с противоположным знаком), взятые от некоторой «хорошей» функции

Теорема 6.2.1 В градиентной системе невозможны замкнутые орбиты.

Доказательство. От противного. Предположим, что система имеет замкнутую орбиту. Тогда, с одной стороны, на полном обороте замкнутой орбиты, т.к. – однозначная функция. С другой стороны,

(если, то траектория есть неподвижная точка, а не замкнутая орбита). Противоречие доказывает теорему.

Большинство двумерных систем не являются градиентными, и это снижает значимость теоремы.

Пример 6.2.1

Показать, что система

не имеет замкнутых орбит.

Решение. Система является градиентной с потенциальной функцией

,

где и. По Теореме 6.2.1 система не имеет замкнутых орбит. В примерах 6.2.5 и 6.2.6 мы покажем, как определить, что система градиентная.

Если система не градиентная, то часто используется техника, рассматриваемая в следующем примере.

Пример 6.2.2

Показать, что нелинейный осциллятор с трением

не имеет периодических решений.

Решение. Предположим, что есть периодическое решение с периодом. Рассмотрим первый интеграл уравнения

.

После одного оборота по замкнутой орбите и вновь примут свои начальные значения, поэтому. С другой стороны,

.

Если мы сможем показать, что интеграл не равен нулю, то придем к противоречию, доказывающему наше утверждение.

Заметим, что

.

Поэтому, причем равенство достигается лишь при. Но это означает, что траектория есть неподвижная точка, что противоречит предположению. Следовательно,, поэтому. Значит, уравнение не имеет замкнутых орбит.

Для некоторых систем удается сконструировать похожую на первый интеграл функцию, убывающую вдоль траекторий. Такая функция называется функцией Ляпунова. Если функция Ляпунова существует, то система не имеет замкнутых орбит.

Сформулируем строгое определение.

Пусть дана система с неподвижной точкой. Предположим, что мы нашли непрерывно-дифференцируемую, действительнозначную функцию, обладающую следующими свойствами:

1. и (положительно определенная);

Тогда называется функцией Ляпунова, а точка – асимптотически устойчива, т.е. при всех начальных данных при. (Рис. 6.2.1) В частности, эта система не имеет замкнутых траекторий.

К сожалению, общего способа нахождения функции Ляпунова не существует.

Пример 6.2.3

Сконструировав функцию Ляпунова, показать, что система

не имеет замкнутых орбит.

Решение. Рассмотрим функцию

,

где – параметр, который будет определен позже. Найдем

.

Если взять, то. Очевидно, что, и, если. Поэтому есть функция Ляпунова. Значит, данная система не имеет замкнутых траекторий.

Третий метод доказательства отсутствия замкнутых орбит основан на теореме Грина и известен как критерий Дюлака.

Критерий Дюлака: Пусть задает непрерывно дифференцируемое векторное поле, определенное на простом связном подмножестве числовой плоскости. Если существует непрерывно дифференцируемая вещественная функция такая, что имеет один знак на всем, то замкнутых орбит, лежащих внутри нет.

Доказательство. Предположим, что имеется замкнутая орбита, лежащая внутри. Пусть – область внутри кривой (Рис. 6.2.2). Теорема Грина утверждает, что

,

где – вектор нормали, а – элемент дуги .

Критерий Дюлака, как и метод Ляпунова, обладает существенным недостатком, поскольку не существует общего способа нахождения функции. Чаще всего в качестве применяют функции .

Пример 6.2.4

Показать, что система

не имеет замкнутых траекторий в первом квадранте.

Решение. Выберем в качестве функцию. Тогда

.

Поскольку первый квадрант является односвязной областью, а функции и удовлетворяют условиям критерия, то результат доказывает отсутствие замкнутых орбит у системы.

Пример 6.2.5

Показать, что система

не имеет замкнутых орбит.

Решение. Предположим, что. Тогда

.

Согласно критерию Дюлака, замкнутых орбит нет.