Лекция: Вынужденные колебания

Сейчас мы рассмотрим простой механический пример неравномерных колебаний. Пусть – угол между маятником и осью, направленной вниз, причем возрастает против часовой стрелки. Закон Ньютона дает

, (1)

где – масса, – длина маятника, – коэффициент трения, – ускорение свободного падения, – постоянная сила. Все эти параметры положительны. В частности, предполагает, что сила направлена на движение маятника против часовой стрелки ( Рис.3.5.1).

Уравнение (1) есть уравнение второго порядка, однако, можно показать, что при достаточно больших оно может быть приближено уравнением

. (2)

Чтобы понять физический смысл этого явления, вообразим, что маятник погружен в очень вязкую среду. Сила дает возможность маятнику с трудом продвигаться через эту среду и ее (силы) едва хватает, чтобы перевалить через верхнюю точку.

Рис.3.5.1

Проведем анализ уравнения (2). Для обезразмеривания сначала разделим на и получим

.

Теперь, если положить

,, (3)

то получим

, (4)

где. «Безразмерный член» есть отношение приложенной силы к максимуму потенциальной энергии.

Если, то приложенная сила несбалансированна с потенциальной энергией и маятник непрерывно колеблется. Когда маятник затрачивает все большее и большее время, чтобы взобраться наверх и перевалить через точку. Как только примет значение 1, возникает неподвижная точка (полуустойчивая), которая раздваивается при. Маятник уже не переваливает через верхнюю точку. Наконец, когда приложенная сила исчезает и неустойчивая точка принимает строго верхнее, а устойчивая – строго нижнее положение.