Лекция: Зависимые события. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий

Случайные события А и В называются зависимыми, если появление одного из них, например, А изменяет вероятность появления другого события – В. Поэтому для зависимых событий используются два значения вероятности: безусловнаяи условнаявероятности.

Если А и В зависимыесобытия, то вероятность наступления события В первым (т.е. до события А) называется безусловной вероятностью этого события и обозначается Р(В).Вероятность наступления события В при условии, что событие А уже произошло, называется условной вероятностьюсобытия В и обозначается Р(В/А) или РА(В).

Аналогичный смысл имеют безусловная – Р(А) и условная – Р(А/В) вероятности для события А.

Теорема умножения вероятностейдля двух зависимых событий: вероятность одновременного наступления двух зависимых событий А и В равна произведению безусловной вероятности первого события на условную вероятность второго:

Р(А и В)= Р(А)∙Р(В/А), (8)

если первым наступает событие А, или

Р(А и В)= Р(В)∙Р(А/В), (9)

если первым наступает событие В.

Пример 1.В урне 3 черных шара и 7 белых. Найдите вероятность того, что из этой урныодин за другим(причем первый шар не возвращают в урну) будут вынуты 2 белых шара.

Решение: вероятность достать первый белый шар (событие А) равна 7/10. После того как он вынут, в урне остается 9 шаров, из них 6 белых. Тогда вероятность появления второго белого шара (событие В) равна Р(В/А) = 6/9, а вероятность достать подряд два белых шара равна

Р(А и В) = Р(А)∙Р(В/А) = = 0,47 = 47%.

Приведенная теорема умножения вероятностей для зависимых событий допускает обобщение на любое количество событий. В частности, для трех событий, связанных друг с другом:

Р(А иВ иС)= Р(А)∙ Р(В/А)∙ Р(С/АВ). (10)

Пример 2. В двух детских садах, каждый из которых посещает по 100 детей, произошла вспышка инфекционного заболевания. Доли заболевших составляют соответственно 1/5 и 1/4, причем в первом учреждении 70 %, а во втором – 60 % заболевших – дети младше 3-х лет. Случайным образом выбирают одного ребенка. Определите вероятность того, что:

1) выбранный ребенок относится к первому детскому саду (событие А) и болен (событие В).

2) выбран ребенок из второго детского сада (событие С), болен (событие D) и старше 3-х лет (событие Е).

Решение.1) искомая вероятность –

Р(А и В) = Р(А) ∙ Р(В/А) = = 0,1 = 10%.

2) искомая вероятность:

Р(С и D и Е) = Р(С) ∙ Р(D/C) ∙ Р(Е/CD) = = 5%.