Лекция: В теории ошибок величину

S = (38)

называют средней квадратичной ошибкой прямо измеряемой величины х, величину Dх (см. (36)) – её абсолютной ошибкой, а величину e= × 100 % – относительной ошибкой, оценивающей точность измерений.

При косвенных измеренияхискомую величинуZ вычисляют по некоторой формуле

Z = f(x, y),

где x и y – прямо измеряемые величины.

Число значений x и y, полученных при измерении каждого из них, равно n:

x1, х2, х3, …., хn ;

у1, у2, у3, …, уn.

Теперь можно найти их средние арифметические значения:

=, = (39)

и средние квадратичные ошибки:

Sx =; Sу = , (40)

Среднее арифметическое значение косвенно измеряемой величины вычисляют по формуле

= f(). (41)

Истинное значение Z – Zист. лежит в доверительном интервале:

– DZ < Zист.< + DZ или Zист.= ± DZ. (3.7.5)

Полуширина данного интервала для нормально распределенной величины Z рассчитывается по формуле:

DZ = tg, n . (43)

В (43) средняя квадратичная ошибка Sz косвенно измеряемой величины, равна:

=, (44)

где =Zx´ и=Zy´ – частные производные величины Z=f(x, y), соответственно, по x и по у, вычисляемые при их средних значениях, SxиSу – средние квадртичные ошибки величин х и у, значения которых получаются по формулам (40).

Окончательный результат обычно записывается в виде: Zист. = ± DZ, с указанием выбранного значения g. Приводится так же относительная ошибка косвенно измеряемой величины:

e= × 100 %.

Пример. Рассчитаем случайную ошибку при косвенном измерении вязкости жидкости:

h = h0,

где h, r, t – вязкость, плотность и время истечения исследуемой жидкости из капилляра вискозиметра; h0, r0, t0– соответственно вязкость, плотность и время истечения эталонной жидкости (воды).

Величины h0, r0и r считаем точно известными, t и t0измеряем секундомером, вязкость исследуемой жидкости – косвенно измеряемая величина.

1. Пять измерений времени истечения исследуемой жидкости и воды дали следующие результаты:

для исследуемой жидкости t= 79, 2с;80,4с;78,0с; 83,6с; 80,2 с;

для воды t0= 51,0с; 48,4с; 50,6с; 47,4с; 44,2с.

2. Найдем по (39) средние арифметические значения t и t0:

= = 80,28 с,

= = 48,32 с.

Определим по (41) среднее арифметическое значение вязкости исследуемой жидкости при: r = 790, r0= 998,2, h0= 1,0 × 10-3 Па × с:

= h0; = 1,0 × 10-3 × = 1,31 × 10-3 Па× с = 1,31 мПа× с.

3.Рассчитаем среднюю квадратичную ошибку вязкости по (44):

Sh = .

Для этого по (40) определим средние квадратичные ошибки времени истечения исследуемой жидкости St и воды :

St = =2,09 с

= = 2,75 с.

Найдем частные производные при t = и t0 = 0:

= = = 16,38 × 10-6 Па ,

= — = – = -27,21 × 10-6 Па.

Тогда Sh = = 82,2 × 10-6 Па × с.

4. Определим полуширину доверительного интервала или абсолютную ошибку вязкости Dh по (43). Для этого, приняв доверительную вероятность g = 0,95, и, зная число измерений непосредственно определяемых величин (n = 5), найдем коэффициент Стьюдента, [cм. табл., напр. в (4, 9)], tg, n = 2,78, тогда:

Dh = 2,78 × = 0,1× 10-3 Па × с = 0,1 мПа × с.

Следовательно, с доверительной вероятностью g = 0,95 = 95% истинное значение вязкости исследуемой жидкости лежит в интервале

η = ± Dh = (1,31 ± 0,1) × 10-3 Па × с = (1,31 0,1) мПа × с.

Относительная ошибка равна

e = × 100 % = » 7,6 %