Лекция: Выбор уравнений регрессии

Важной задачей в области регрессионного анализа является выбор уравнения, которое бы наилучшим образом описывало исследуемую закономерность. Обычно эту задачу решают следующим образом:

1. Эмпирический ряд регрессии или динамики, для которого подыскивают наилучшее корреляционное уравнение, изображают в виде точечного графика в системе прямоугольных координат. Если эмпирические точки располагаются на одной прямой или могут быть аппроксимированы прямой линией, зависимость между переменными величинами описывают уравнением линейной регрессии. В случае нелинейной зависимости подходящее уравнение подбирают на основании сравнения эмпирического графика с известными образцами кривых.

2. Графический анализ не гарантирует от возможных ошибок, особенно в тех случаях, когда главное направление регрессии, т, е. тренд сильно затушевывается колебаниями членов ряда. Поэтому дополнительно применяют аналитические способы проверки правильности выбора корреляционных уравнений.

Одним из них является применение принципов дисперсионного анализа. Неадекватность линии регрессии, найденной теоретическим способом по отношению к эмпирической линии, может быть описана суммой квадратов отклонений

.

Здесь и – эмпирические и теоретические условные средние. Дисперсия неадекватности регрессионной модели находят по формуле

где а – число классовых интервалов, для которых находили эмпирические средние; m – число параметров, определяемых в регрессионной модели. Это количество для прямолинейной регрессии равно двум, для квадратической параболы – трем и т.д.

Случайная вариация наблюдений yij по отношению к условным средним, найденным эмпирически, определит остаточную девиату

Остаточная дисперсия может быть получена по формуле

Сравнение двух дисперсий осуществляют по F-критерию Фишера по формуле с числами степеней свободы и .

Если Fф превысит табличное значение Fst, найденное для kR и ke, а также выбранного уровня значимости α, то необходимо будет признать, что предположение об адекватности построенной теоретической регрессии следует отклонить и попытаться испытать иную модель. В противном случае (Fф < Fst) можно считать, что неадекватность проверяемой линии регрессии оказалась недоказанной, поэтому ее можно использовать.

В заключение необходимо отметить: уравнения регрессии позволяют прогнозировать возможные значения зависимой переменной на основании известных величин аргумента. При этом, однако, не следует экстраполировать регрессию за пределы проведенных опытов, так как она может менять свое направление. Область применения уравнений регрессии лучше ограничить теми данными, на которых получены эмпирические уравнения. Это предостережет исследователя от возможных ошибок.