Лекция: Биномиальное распределение и измерение вероятностей.

В этой теме рассмотрим основные типы распределения дискретных случайных переменных. Предположим, что вероятность наступления некоторого случайного события А при единичном испытании равно р. Производится серия испытаний в каждом из которых случайное событие А может наступить с этой вероятностью р, причем следует отметить, что испытания независимы друг от друга. Примеры исчисления вероятностей можно обобщить на основе следующей ниже иллюстрации. Если подбрасываются одновременно 2 монеты (а, b), то существуют 4 возможных случая выпадения герба Т и цифры Н:

аb аb аb аb

ТТ ТН НТ НН

В первом исходе имеем 2 герба. Принимая это за 2 благоприятных исхода, получим вероятность каждого из них р, а сложного события (ТТ). В данном случае, при р = 1/2;
p2 = 1/4.

Четвертый из возможных исходов НН представляет 2 неблагоприятных исхода с вероятностью q × q = q2 = 1/4. Каждый из двух других исходов является комбинацией одного благоприятного и одного неблагоприятного случаев. Вероятность каждого из этих исходов равна p × q = 1/2 × 1/2 =1/4, а обоих вместе ТН и НТ равна их сумме, т. е. 2 р × q = 1/2. Обобщенным выражением процесса получения вероятностей различных сочетаний независимых событий, когда вероятности их известны, являются последовательные члены разложения бинома. Для рассматриваемого примера из двух событий имеем:
(р +q)2 = p2 + 2pq + q2., При p = 1/2 получим (1/2 + 1/2)2 = 1/4+1/2+1/4. Если 3 монеты а, b, с подбрасываются одновременно, получим 8 возможных комбинаций:

abс abc abc abc abc abc abc abc

ТТТ ТТН ТНН ТНТ НТТ НТН ННТ ННН

Вероятность выпадения 3 гербов составит 1/8, 2 гербов (в сочетании с одним случаем цифры) равна 3/8, одного герба и 2 цифр – 3/8, ни одного герба – 1/8. При 3 независимых событиях степень бинома равна 3.Вероятности отдельных возможных исходов даются последовательными членами разложения:

(р + q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3.

При p = q = 1/2 имеем (1/2 + 1/2)3 = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8, т. e. то же, что и непосредственным подсчетом. Если число независимых случайных событий n, то вероятность n, n–1, n–2 и т. д. благоприятных исходов равна последовательным членам разложения:

(р + q)n

Если желаем получить вероятные численности разных исходов при данном числе испытаний n, применяем выражение:

N × (p+q)n