Курсовая работа: Аддитивные проблемы теории чисел

.

Ł

1 ˇ ƺ ß Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º. 3

1.1 ˇ ƺ ´ Ł ª................................ 4

1.2 ˇ ƺ ˆ º Æ ı............................... 5

1.2.1 ( Œ Łª Ł æŒŁı æ. ( ¨.. ´Ł ª -

).................................... 6

1.3 ˇ ƺ Ł — ¸Ł º........................... 6

1.3.1 ´Ł ª — ` Æ Ł.................... 7

1.4 Ł Ł ƺ ºŁ º Ø........................ 8

1.5 ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł ł........................ 8

1.5.1 ˆŁ —Ł............................. 9

2 ß ł Ł ƺ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º. 10

2.1 Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł................. 10

2.2 ß ł. ¨ææº Ł æ Œ ß æ............. 11

2.2.1 º Æ ª............................. 12

2.2.2 — ł æ............................ 12

2.3 ˜Łæ æŁ ßØ.............................. 13

3 ˛æ ß ß ß. 15

Ł Ł ß Æº ß ŁŁ Łæ º XVII — XX .

´ Ł .

Ł Ł Ł Łæ º — º ŁŁ Łæ º, Œ Ł æ Ł

º ŁŁ ºßı Łæ º æº ª ß ª Ł, Œ ºª Æ Ł æŒŁ Ł ª Ł æŒŁ º ªŁ ŒŁı, æ øŁ æ Œ º ºª Æ Ł æŒŁı Łæ º Ł Œ æ Œ ł ŒŁ. Ł Ł ß æ Ł Ł ß Ł Ł. ˛Æß æ-

æ Ł æ Ł Ł ß Ł º ŁŁ Æ º łŁı Łæ º.

1 ˇ ƺ ß Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º.

˚ Œº ææŁ æŒŁ	ƺ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º æ æ :
1. ˇ ƺ	´ Ł ª (1770) æ º ŁŁ æ Œ ª º ª Łæº Ł
æ ß s = s (k )	Ł º ßı k − ı æ Ø æ ŁŒæŁ ß k > l ;
2. ˇ ƺ	ˆ º Æ ı æ º ŁŁ ßı º ßı Łæ º, Æ º łŁı 5,
æ Ø ı	æ ßı Ł ƺ غ — ˆ º Æ ı æ º ŁŁ ßı Łæ º,
Æ º łŁı 2, æ	Ø ı æ ßı ( æ º ß 1742);
˛æº ƺ	ƺ ˆ º Æ ı. ˇ ƺ æ º Ł º ßı Łæ º æ -
Ø ª Ł	ª Łæº æ ßı;
3. ˇ ƺ	Ł — ¸Ł º æ º ŁŁ æ Œ ª º ª Łæº, Æ º ł ª 1,
Ł æ ß	æ ª Ł ı Œ (æ ºŁ 20-ı ªª. 20 .);
4. Ł Ł	ƺ ºŁ º Ø;
5. ˇ ƺ	ºŁ º Ø Ł ł ;
6. ˙ Ł	æ º ŁŁ æ ı æ Æ º łŁı ßı Łæ º æ Ł ı
Łæ º æ ª Ł	ß Łæº æ ßı æ Ł º Ø;
7. ˙ Ł	æ º ŁŁ ºßı Łæ º Œ Ł ß Ł Ł æ Ł ß -
ß Ł Ł º ªŁ ß Ł; Œ ªŁ Ł. ˜º ł Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º Ł æ ºŁ Ł æŒŁ, ºª Æ- Ł æŒŁ, º ß Ł æ ł ß ß, Œ ß, æ ß -

æ ßı æ Æ Ł ı. ´ ŁæŁ æ Ł ł Ł, Ł Ł ß Ł ı

æ æ Ø æ ªŁ ºß ŁŁ Łæ º — ºŁ Ł æŒ Ł Łæ º, ºª Æ Ł æŒ Ł Łæ º, æ Ł Łæ º. ææ Ł æ ß ß Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º º æ Ł.

1.1 ˇ ƺ ´ Ł ª .

ˇ ƺ ŁŁ Łæ º, æ ºŁ. ´	Ł ª (¯. Waring) 1770 ª. æº -
ø Ł: æ Œ º Łæº æ æ	ß ı Œ, Ł Œ Æ ,
Ł ßı æ Ø. ˜ ªŁ Ł æº	Ł:	º º Æ ª n > 2 æ ø æ -
Œ k = k (n ), Łæ ø º Œ n, º Æ	º Łæº æ æ A: n −
æ Ø Ł º ßı ºßı Łæ º. ˇ	Æø	ł Ł ƺ ß ´ Ł ª æ
ª Æ Ø Œ Ø ºŁ Ł ß k ŁæŁ æ Ł	n	1909 ª. ˜. ˆŁº Æ (D.
Hilbert), æ Ł æ ƺ ´ Ł ª Ł ª	ß	æ ƺ Ø ˆŁº Æ — ´ -
Ł ª. ¯æºŁ Jk,n (N ) Æ Ł Łæº ł Ł	ŁØ	ºßı Ł º ßı Łæº ı

ˆŁº Æ Ł º Æ N > 1.	, æ ø æ K = k (n ), º Œ ª Jk,n (N ) > 1
´ 1928 ª. ˆ. X.	Ł Ł ˜	. ¨. ¸Ł º (G. ˝. Hardy, J. ¯. Littlewood), Ł Ł

Œ ƺ ´ Ł ª Œ ª Ø, Œ ºŁ, Ł k > (n − 2)2n −1 + 5 º Jk,n (N )

Ł æ æŁ Ł æŒ º Ł

Jk,n (N ) = AN k/n −1 + O (N k/n −1−γ )

ª A = A (N ) > c 0 > 0, c 0 Ł γ > 0 — Œ ß æ ß. º º, Ł

N > N 0(n ) Łæı Ł Ł ł Ł. ´ æ Ł æ Ł º ŁŒºŁ

Ł ƺ ß: æ Ł Œ ı ºŁ Ł G (n ),g (n ),k 0− Ł łŁı ºßı

Łæ º, º Œ ßı:

) Łæı Ł łŁ Ł k > G (n ) Ł N > N 0(n );

Æ) Łæı Ł łŁ Ł k > g (n ) Ł N > 1;

) º ºŁ Ł ß Jk,n (N ) Ł k > k 0(n ) Ł æ Ł … ßł æŁ ŁæŒ º .

) ¨ æ, G (n ) > n + 1

´ 1934 ª. ¨.. ´Ł ª Ł øŁ æ ª Ł Œ º, G (n ) 6

3n (lnn + 9)

˚ ª, Ł æ ª º æŁ º G (n ) º Æ º łŁı ŁØ n: G (4) = 16 (X. ˜, ˝. Davenport, 1939), G (3) = 7 (. ´. ¸Ł Œ, 1942).

Æ) ´ 1936 ª. ¸. ˜ŁŒæ. ˇŁºº (L. Dickson, S. Pillai), Ł Ł ´Ł ª -

, Œ ºŁ,

º æ ı n > 6, º Œ ßı

ˇ æº æº Ł Œ ˚. º (˚. Mahler) 1957 ª. º æ ı æ

Æ º łŁı n .

) ˝ Łº łŁØ º Ł º Ł ¨.. ´Ł ª, Œ ßØ Œ º,

k 0 6 4n 2 lnn.

º Œ º æ ƺ ß ´ Ł ª. ´. ¸Ł ŁŒ 1942 ª. ø æ ª ºŁ ßı Æ Æø ŁØ ƺ ß ´ Ł ª ( ß Æ ª

Œ æ æ º ßı Łæ º; æ º

æ º ŁŁ Łæº n ææ Ł æ ª º ß f 1 (x 1 ),f 2 (x 2 ),...,fk (xk ); æ

Łæı ª Ł ææ Ł æ æ Ł Ł. .). ˛æ Æ Ł ƺ ß ´ Ł ª æ æ Ł, Ł ł ŁŁ æ ß ø ß ß ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º.

1.2 ˇ ƺ ˆ º Æ ı .

˛ Ł Ł æ ßı ƺ ŁŁ Łæ º. ˙ Œº æ Œ º æ ª, æ Œ º Łæº, Æ º ł ŁºŁ ł æ Ł, Æß æ º Ł æ ß ı æ ßı Łæ º. ƺ ß Ł º 1742 ª. X. ˆ º Æ ı (Ch. Goldbach)

Łæ Œ ¸. غ (L. Euler). ´ ¸. غ Łº, º ł Ł ƺ ß æ Œ, Œ Łæº æ æ ı æ ßı. ´ Ł

ºª ª Ł º æ Ø Ł ŁŒ ŒŁı Ø Łææº Ł ƺ ß ˆ º Æ ı .

´ 1923 ª. ˆ. Ł Ł ˜. ¸Ł º (G. Hardy, J. Littlewood) º æ Œ, æºŁ ß Œ ß ß ( Œ ß Ł ß ) æŁ º L˜Ł Łıº, æ Œ æ Æ º ł Łæº æ æ ı æ ßı Łæ º.

´ 1937 ª. ¨.. ´Ł ª æ º ßØ º æŒ Ø ŁŁ Łæ º Œ Łª Ł æŒŁı æ æ æ ß Ł Łæº Ł, æ ø Œ ª -

Œ º æŁ Ł æŒ º º Œ ºŁ æ æ º ŁØ ª Łæº æ Ø ı æ ßı Łæ º. ¨ Ø ºß æº, Œ æ Æ º ł Łæº æ æ ı æ ßı Łæ º. — Ł Œ ØłŁı æ Ł ŁØ æ Ø ŁŒŁ. ¨.. ´Ł ª ºŁº łŁ Ł æ ø æ Æ º ÆøŁı. ˙ ÆŁ ŁŁ ª Łæº æ ı æ ßı ø ł . 1.2.1 ( Œ Łª Ł æŒŁı æ. ( ¨.. ´Ł ª ) ˛ Ł Ł æ ßı æŁº ßı Ł ÆøŁı ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º Łª Ł æŒŁı æ Æߺ æ ¨.. ´Ł ª ß. ªŁ ƺ ß ºŁ Ł æŒ Ø ŁŁ Łæ º º æ ºŁ æ ߌ Œ ßı æ æº ª ßı Ł
cosF (x 1,...,xn ) + i sinF (x 1,...xn ),
ª F (x 1,...,xn ) Øæ	Ł º º Łæº Œ Ł. ŒŁ Æ ,
æ Ł Łı ƺ	æŁ æ Ł Ł ŒŁı æ Ł, æ æ Ł, -
º Ł	Æ º Ø ŒŁ º ŒŁı æ. ¨.. ´Ł ª ,
Łæ º ªº Æ ŒŁ Ł	Ł æŒŁ æ Øæ ææ Ł ßı æ, º Łº ŁæŒº -
Ł º æŁº ß ŒŁ	º łŁ Œ ª Œº ææ ŒŁı æ. ºŁº
´Ł ª º Ł	º ß, ƺŁ ŒŁ Œ º ß º -
ß º æ	ŁŁ Łæ º ŒŁı Œº ææŁ æŒŁı ı, Œ Œ ƺ
´ Ł ª, ƺ ˆŁº Æ	˚ Œ, ƺ Œ æ ´ غ. ˜ ªŁ æº æ Ł-
Œ Łª	Ł æŒŁı æ Æߺ ł Ł Ł Ł ßı ƺ
æ æ ß Ł Łæº Ł Ł,	æ æ Ł, ł Ł ƺ ß ˆ º Æ ı .
1.3 ˇ ƺ	Ł — ¸Ł º .
˙ ı Ł æŁ	Ł æŒ Ø ºß º Łæº Q (n ) ł ŁØ Ł

p + x 2 + y 2 = n,

ª p — æ, x Ł — ºß, n — º Łæº. º ª Ø Ł º æ ƺ ı Ł æŁ ŁŒŁ º Łæº ł ŁØ Ł

p − x 2 − y 2 = l,

ª l — ŁŒæŁ	º	Łæº, p 6 n (n → ∞). X. -¸.	. Æߺ	æ º ˆ.	-
Ł (G. Hardy) Ł ˜	. ¸Ł º	(J. Littlewood) 1923 Ł	ææ	Ł Ł æ
Łæ Ł æŒŁı Ł ªŁ	Ł	æŒŁı æ Æ ŁØ.
˜Łæ æŁ ßØ	,	Æ ßØ. ´. ¸Ł ŁŒ ,	ºŁº	Ø Ł æŁ	-
ŁŒ º ª	Ł :

,

ª

¨	º ªŁ Ø ºß º ª Ł æº Æ æŒ	æ æ
æ ßı	Łæ º Ł = x 2 + y 2 + l. ø Łæ æŁ ª	Ø æŁ	-
ŁŒ	º Łæº ł ŁØ Æ Æø ª Ł Ł — ¸Ł º	p + ϕ (x,y ) ª	p
— æ .	, ϕ (x,y ) — Ł Ł Ł º Ł º º	Œ Ł
— ææ	Ł º ªŁ ª Ł p − ϕ (x,y ) = l Ł Ł	Œ Œ º æ
Æ æŒ	æ Ł æ æ ßı Łæ º Ł p = ϕ (x,y ) + l
´Ł ª — ` Æ Ł æ º ŁŁ æ ßı Łæ º Ł Ł æŒŁı

.

ª ææŁ ı æ Œ æ º ł Ł ƺ Ł — ¸Ł º, Œ Ł æŒŁ æłŁ ªŁ —Ł Ł Ł Æ º ł ª ł .

1.3.1 ´Ł ª — ` Æ Ł.

ˇ æ Ł Łæ º æ Œ Ł :

,

ª

ψ (y,k,l ) = X = Xλ (n ).

n 6yn ≡lmodk

, æ ø æ æ ß c 1 > 0 Ł c 2 > 0 ŒŁ ,

,

√4 logx

ª k 0 < e = z 1 − º, º Œ ª æ ø æ Ł æ ßØ Ł Ł Ł ßØ

Øæ Ł º ßØ Ł Ł Ł ßØ ı Œ χk 0 Œ Ø, L (s,χk 0) Ł º Ł s =

√ 11/ 18 −A ∆(Q,x ) 6 c (A )( xQ logx + x logx )
Ł º Æ A . 1.4 Ł Ł ƺ ºŁ º Ø.
Ł Ł ƺ ºŁ ª Ł æ Ł : ,	º Ø — ƺ, Œº ø æ X τ k 1τ k 2(m + a ) m 6n X τk 1τk 2 (n − m ), m<n	ŁæŒ	æŁ Ł	æŒ -
ª τk (m )− Œ ºŁ æ	ºŁ ßı º ŁØ º ª Łæº	k	Ł	º Ø, æ Ł	Ł
Œ k 1, Ł k 2 > 2− -	º ß Łæº, a — ŁŒæŁ	º	Łæº ,	ºŁ -
º, n — æ	Æ º ł º Łæº. ´	æ	æ Ł, τ 2 (m ) = τ (m ) -
Łæº ºŁ º Ø º Łæº ŁØ	m. ß ß, æ æ x 1x 2...xk 2 − y 1y 2...yk 1 = a, x 1x 2...xk 1 − y 1y 2...yk 2 = n.	, Œ ºŁ æ	ł ŁØ
Ł Ł ƺ	ºŁ º Ø Ł k 1 = 2 Ł º Æ	º	k 2 Æߺ	ł æ
ø Łæ æŁ ª	. ´. ¸Ł ŁŒ .	Æ	ææ	º .
1.5 ˇ ƺ ºŁ	º Ø Ł ł .
ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł	ł: ?= — æ,? = xy, x, y	º ß ;
ˇ ƺ ßæŒ Ł æŁ Ł æŒ Ø ºß º Łæº ßı ŁØ Ł : p − xy = a,p < N, p + xy = N,p < N,x,y ∈ N ª p − æ Łæº a − ŁŒæŁ º . Æø — ŁæŒ æŁ ŁŒŁ º æ Ł :	ł ŁØ	º… -

. ˛ æ Ł Ł ß ˙Łª º ß Œ ,

X

τ (p − 1), p<N

ª τ (p )− Łæº ºŁ º Ø n .

ˇ ƺ ºŁ º Ø Ł ł Æߺ æ º. Ł ł (¯. Titchmarsh, 1930) Ł ł Ł æº º ŁŁ æ ºŁ æ Ł æłŁ Ø ªŁ ß —Ł ( … ææ Ł Ł ). ˜Łæ æŁ ßØ, Æ ßØ. ´. ¸Ł ŁŒ, º Ø Ł æŁ ŁŒ Łæº ł ŁØ º º… ª Ł :

p −xy = a,p < N, Ł a = 1, `.. ` ŁıŁ	łŁº	º º Æ ª ŁŒæŁ -
ª a 6= 0. ` ª ε > 0.	ŁıŁ Œ º æŁ	Ł	æŒ	º æ æ Œ O (N/ (ln1+ε N )),
´Ł	ª — ` Æ Ł	æ	º ŁŁ	æ ßı Łæ º Ł Ł æŒŁı
ª ææŁ ı	æ Œ Ł Ł	Œ	ł Ł	ƺ ß ºŁ º Ø Ł ł .
ˇ Ł	º Ł æ ºŁ	æ Ł	æłŁ	Ø ªŁ ß —Ł æ
Œ Ł æŒŁ ).	Ł Ł Æ º ł ª	ł	( Ł	ß Æ ææ ß Ł
1.5.1 ˆŁ	—Ł .
˜º º	æ Ł º Ł	— Œ ŁŁ. ˜ — Œ Ł ζ (s )− -
ºŁ Ł æŒ	Œ Ł Œ º Œæ ª	ª s = σ + it, Ł σ > 1 º æ
Ææ º Ł	æı øŁ æ	˜Ł Łıº :

˙ Ł	— Œ ŁŁ	,	º	Łæº	ºŁ ßı ª ª
æ Łæº .	: Œº	æ	æ ß	Łæº ,	ª Œº	Ł ª æ ª
—Ł	1859 ª. ßæŒ	º	º	Ł	æ	Ł æ ßı	Łæ º æ Re = 1/ 2 -
Œ ŁŁ,	Œ º	Łº,	æ	Øæ	Ł	º ß ºŁ	— Œ ŁŁ æ º -
ß	Ø Re = 1/ 2.
¨ Œ,	Œ Ł ζ (s )	º	º æ ı Œ	º Œæ ßı s 6= 1, Ł Ł ºŁ º Ł-

º ßı ºßı s = −2, −4, −6… ¨ Œ Ł º ª Ł

s )ζ (1 − s ), Ł ª ß Ł Ł s > 1 æº, æ æ º ß

ºŁ, ß ß Ł Ł º ß Ł¿, æ º ß º æ 0 6 s 6 1 æŁ Ł æŁ º Œ ß Ø "Œ Ł Ł æŒ Ø ºŁ ŁŁ"R. ˆŁ —Ł, :

´æ Ł Ł º ß ºŁ — Œ ŁŁ Ł Øæ Ł º æ ,.

˛Æ Æø…	ªŁ —Ł	æ æ	Ł Ł ª æ ª	Ł	º Æ Æø -
ŁØ -	Œ ŁØ, ß	ßı L-	Œ Ł Ł ˜Ł Łıº .
2 æ º.	ß ł	Ł	ƺ Ł Ł	Ø	ŁŁ Ł-
ˇ ß æŁæ	Ł æŒŁ	º ß	Ł Ł Ø ŁŁ	Łæ º ÆߺŁ	º ß ¸ -
غ	(1748), Œ	ßØ Łææº	º æ ø æ	ßı	º Ł
ºßı Łæ º	º Ł º	ß æº ª	ß, æ æ Ł, Ł Æߺ ææ
º ŁŁ	Łæº	Œ ºŁ	æ æº ª ßı.

2.1 Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł .

ªŁ Œº ææŁ æŒŁ Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º ł æ Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł. æı Ł Œ ¸. غ Ł º Ł æ -

ºŁ Ł æŒŁı, Ł ßı ˆ. X. Ł (G. H. Hardy), ˜. ¨. ¸Ł º (J. ¯.

Littlewood) Ł ¨.. ´Ł ª ß. ¨æı Ø º æ Ł æ æ º Ł ß æº º æ :

Ai = {ai },ai > 0,a ∈ Z,i = 1, 2, 3,… æ ßı: æ Ł ø Ø Œ Ł Ø

,

ª r (n ) = rk ,A (n ) − Œ ºŁ æ æ º ŁØ Łæº Ł :

n = a 1 + a 2 + … + ak ,ai ∈ Ai ,A = {A 1A 2,... }.

ˇ Ł r (n ) ß Łæº æ Ł øŁ Ł ª º ˚ łŁ. ´ ´Ł ª æ ß ß æ Łª Ł æŒŁ Ł æ Ł:

¨ r (n ) ß º æ ªº	æ, æ æ ø	Ł Ł º, æ æ ßı
Œ æ æ Ł Œ ßı Ł	º ßı Œ. ´	æ ºŁ Ł æŒŁı æ Øæ F (z ), -
Æ øŁı Ł Ł	Ø ŁŁ Łæ º	Ł º Ł ªŁ, º ªŁ ßı ªŁ-
—Ł, º	º Ł ß Łæº	ŁŁ r(n) Łª Łæ Ł Ł æŒŁ
ŒŁ Łª Ł. æ	´Ł ª	Ł Œ ß æ º Ł æ ßı
Łæ º Ł Ł æŒŁı ª	ææŁ ı, º	ß æ ß Ł Ł -
ŁŁ L- Œ ŁØ ˜Ł Łıº. æ	ºŁ æ ,	ŁæŁ æ Ł k ºŁÆ r (n ) 6= 0 º
æ ı n > 1, ºŁÆ r (n ) 6= 0 º	æ Æ º łŁı n n > n 0(A ), ºŁÆ Ł º æ ı

ß º æ æ ł Ł r (n ) 6= 0,. .

,

ŁºŁ, Œ, º r (n ) Ł æ æŁ Ł	æŒ	º. ˝ Ł	ł Łæº k, º -
ø Ł Łæº ßı æº	ŁØ, Æ	æ æ	æ g (A ), G (A ),
G 0(A ), k 0(A ). ´ æº {ai } = {p }, ª {p }−	æº	º æ	æ ßı Łæ º, Ł k =
3 º æ ´Ł ª: æ Œ	æ	Æ º ł	Łæº

Æß æ º Ł æ ß ı æ ßı Łæ º; Ł k = 2 — Œ: Ł æ ß Łæº ª Æß æ º ß Ł æ ß ı æ ßı Łæ º.

2.2 ß ł. ¨ææº Ł æ Œ ß æ .

˝ Œ ß Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º ł æ Ł øŁ Łææº Ł æ Œß æ, º øŁıæ º æ Ł Ł æº º æ Ø Ai ai ,

ßı ºŁł Łı º æ Ł, ª Ai (n ) = P16ai 6n 1. ¨ º Ł º æ Ł dn (Ai ) Ł A 1 = A 2 = … = Ak = A æº, g (A ) < ∞. ˇ Ł Ł ª

Œ Œ Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º, Œ ßı æ Ł æ æº º æ Ł º Ø º æ Ł, æ ø æ º æ Œ æ Ł Ł Ł ßı æº -

º æ Ø ßı æº º æ Ø æ º Ł º Ø º æ. ´ ø º

Ł Łª ß ł, æ ø Œ ßı Œ ß æ º Ł º æ

d (Ai ). ŒŁ æ æ Æ ¸. ˆ. Ł º Œ æ Ł æ Ł -

º ßı Łæ º Ł æ ß ª Ł ª Łæº æ ßı æº ª ßı,. ´. ¸Ł ŁŒ

Ø º ł Ł ƺ ß ´ Ł ª .

º ß ß ł, Ł º øŁ ´. ´ Ł. º Æ ª, Ł

Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º Œ º, æ ß Œ æ ß

ºŁ Ł æŒŁ æ æ. ˛ Œ ŁÆ º Œ ß ł Ł Œ ßı Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º º æ Œ ÆŁ Ł Ł ºŁ Ł æŒŁı Ł º ßı. ´ ı ł Ł Ł ßæ Ł Ł æ ßı Łæ º Ł º ª

( ł æ ) æ æ æ æ Œ æ Ł æº º æ Ø. Œ, ßæ Ł Ł æ º Ø æ Ł æº º æ Ø {m} Ł

{2n — m} æ ßı Łæ º, 6 nθ 1 Ł, æ æ 6 nθ 2 ª (θ 1 < 1 Ł θ 2 < 1 º øŁ

Æ ßÆ ß º Ł º ß Œ æ ß), Ł Ł Œ ł Ł Œ ß Ø

Œ Ł ƺ ß ˆ º Æ ı — غ æ º ŁŁ ª Łæº æ Ø ı Łæ º, Ł Œ ßı Ł Æ º k 1, ª — Æ º k 2 æ ßı Ł º Ø.

2.2.1 º Æ ª .

º Æ ª — æ Ł º ßØ Ł æ Ł æ º ßØ ł -

, æ ßØ º º Æ ª. — ł º Æ ª º ı ł Ł æ ı æ Ł ø Œ Ł S (;,z ), Æ ø Œ ºŁ æ º Œ ª -

æ A ºßı Łæ º, Œ ß º æ æ ß Łæº p < z Ł Ł º Œ æ P æ ßı Łæ º.

ˇ æ P (z ) = Qp<z,p ∈P p. º Æ ª æ Ł æ

,

Œ Ł l 1 = 1 º Ł º ßı Øæ Ł º ßı Łæ º. ¨ º Æ -

ª æ æ Ł, Æß, º Ł ld = 0 º d > z, Ł Ł Ł Ł æ æ º ø ª ßÆ æ łŁıæ Łæ º λd (2 6 d < z ).

´ Œ ÆŁ ŁŁ æ ªŁ Ł Ł ł ł º Æ ª º º

ŒŁ æ Ł, æ Æ æŁº ß Ł Łæ º ŁŁ æ ßı Œ ŁØ.

2.2.2 — ł æ .

— ł æ — , Æ ßØ æ (3.. .) Ł º øŁØ æ Ł æ æ ß Łæº Ł º ª. ø æ æ

Œº æ æº ø. ˙ ŒŁ æ Ł Ł. Łæº 2 — æ. ˙ ŒŁ æ æ º ß Łæº, º øŁ æ 2. Łæº 3 — Œ Łæº — Æ æ ß. ˜ º ŒŁ æ æ º ß Łæº, Œ- ß º æ Ł

2 Ł 3. Łæº 5 — Œ Łæº — Æ æ ß. ˇ º º -

ªŁ ß ß Łæº Ł, Ø Ł æŒ º ª Æ º ł Ø Œ æº º æ Ł æ ßı Łæ º. — ł æ łº Ł Ł ªŁı Æ º æŁº ßı ı ł ( Ł ł ´ ).

2.3 ˜Łæ æŁ ßØ .

´ 1959. ´. ¸Ł ŁŒ Æߺ Æ ˜Łæ æŁ ßØ. ˛ Ł Ł ŁŁ Łæ º º ł Ł Œ ßı ÆŁ ßı ŁØ (ÆŁ ßı Ł Ł ßı ƺ

) Ł

α + β = n,

ª α Ł β Ł º Œ æ ª æ ß Ł ı ł æ º ß Ł Ł æŒŁı ª ææŁ ı æº º æ º ßı Łæ º. ˜Łæ æŁ ßØ, æ Ł æ Æ º ß ŁŒ — æ ß Ł ( æ æ Ł, -

Ł Łæ æŁŁ Ł æ Ł Æßł ) æ ºŁ Ł æŒŁ Ł Ł ºª Æ Ł æŒŁ Ł

Ł Ł ¨.. ´Ł ª Ł. ´ غ (A. Weil). ø æ æ æ Ł æº -

ø. ¨æı ÆŁ Ł æ Ł æ Œ Ł Ł :

υD 0 + β = n ;

æ υ,D ŁæŁ Æ ª Œ ß Ł Ł ª º Ø Æº æ Ł ª υ Ł D — Œ ß Ł ºß; Ł Łæº υ — æ ß, D ª Æß º ß ºŁ ß º Ł º ß æº Ł. ˇ æ F Æ Łæº ł ŁØ ª Ł. ª º Ł Ł :

υD + β = n

Ł Ł º D ∈ (D ), Ł (n,D ) Æ Łæº ª ł ŁØ, Ø ßı

Ł Œ ŒŁı-ºŁÆ Łæ Ł æŒŁı æ Æ ŁØ. ª ªŁ Ł æŒŁ Łæº Ł ßı ł ŁØ Ł Łæß æ Ł :

.

˛ Œ æ Ł F − S = V Ł Ł :

V = X ( X 1 − A (n,D 0)).

D 0∈(D ) υD 0+β =n

ˇ Ł Ł æ ˚ łŁ Ł Ł Œ æ :

V 2 6 D 0V 0,

ª D 0 — ºŁ Ł º (D ),

V 0 = X ( X 1 − A (n,D 0))2 −

D 0∈(D ) υD 0+β =n

æ Łæ æŁ Łæº ł ŁØ Ł υD 0 + β = n

¯æºŁ	æ æ	Ł	æ	Ł	Ł	æº	ŁŁ	æ ı D ∈ (D ),
Æ æ	ß æ	º Ł	º	ß	æº Ł ,	º	ß	D 0. ´	ºŁ Ł

Łæ æŁŁ º Œ æ Ł. ˇ

ß Σ1, Σ2 Ł Σ3 Œ ßı æº ı æ ß ŁæºŁ æŁ Ł æŒŁ. ˆº -

æ æ º ß Łæº Ł Σ1 — æ Ø æ ß ˜Łæ æŁ ª . æŁ Ł æŒŁØ æ æ ß Σ1 æ ø æ º æ Ł øŁ ´Ł ª æ º Œ ßı Œ ŁØ Œ ºŁ æ Łı Æ ßı æ Ø, øŁı ßØ æ ª, Œ æ Łæ º Ł ØłŁı Œ Łª Ł æŒŁı æ, º ßı æ æ Ł ºª Æ Ł æŒ Ø ª ŁŁ. æŁ ŁŒ º æ Σ2 Ł Σ3 ı Ł æ º ª æ Ł Ł. ¯æºŁ, º, Łæ æŁ Œ ßæ æºŁłŒ Æ º ł Ø, º æ æŁ ŁŒ º Łæº ł ŁØ Ł
υD 0 +β = n. ˛Æœ Ł Ł Łæº ł ŁØ æ ı	ŁØ Ł υD 0 +β = n Ł Ł Œ
æŁ Ł æŒ Ø º º Łæº ł ŁØ	Ł α + β = n .
— ææ ßØ Ł Ł Ł º ł Ł º Łæº, ºŁ º .	ŁØ Ł α − β = l, ª l -
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