Контрольная работа: Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра теоретической механики
КУРСОВАЯ РАБОТА
«Исследование колебаний механической системы
с одной степенью свободы»
по разделу «Динамика»
Кафедра теоретической механики
Рецензия
На курсовую работу
Студента __Кисова Ивана____________
(фамилия, имя, отчество)
Группы _121142__________________
Вариант № ___ количество страниц
Курсовая работа по содержанию соотве-
тствует / не соответствует выданному
заданию и выполнена в полном / не в
полном объеме.
КР может быть допущена к защите с
добавлениембаллов рецензента
после успешной защиты.
Рецензент_______ /_____________
(Ф.И.О.)
«____»_____________200 г.
ТУЛА 200
Оглавление
Аннотация
Содержание задания
1. Применение основных теорем динамики механической системы
1.1.Постановка второй основной задачи динамики
1.2.Определение закона движения системы
1.3.Определение реакций внешних и внутренних связей
2. Построение алгоритма вычислений
3. Применение принципа Лагранжа-Даламбера и уравнений Лагранжа второго рода
3.1. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера — Лагранжа
3.2. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода
Анализ результатов
Список использованной литературы
Аннотация
Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твёрдых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена упругой внешней связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления R=-µ*V и возмущающая гармоническая сила F(t) = F0* sin(pt).
Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определён закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Произведён численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.
В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты тnp, п, к получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t. На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей
Содержание задания
Исследовать движение механизма с одной степенью свободы. Определить реакции внешних и внутренних связей. Массами нитей и упругих элементов пренебречь. Нити считать нерастяжимыми и абсолютно упругими. В качестве координаты, определяющей положение системы, принять перемещение груза 1 -S. К грузу 1 приложена возмущающая сила F(t).
Исходные данные:
M1, М2, М3 — массы тел механической системы.
с — жесткость упругого элемента.
г2 — радиус блока 2.
R3, Гз -радиусы ступеней катка 3.
i2 — радиус инерции блока 3.
µ — коэффициент сопротивления.
Fo — амплитуда возмущающей силы
m1= 3mm2= mm3= mm4= 2m
r2 =r R2 =3rr3 =rr4 =2r
i2 =2r Xo=6 см Xo= 0 см/c
m= 1кг r= 0.1 м p = 3.14 F0 = 50 Н F(t)= F0 sin(pt) c= 4000 Н/м μ=100Н*с/м
R= — μV
Часть 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
1.1. Постановка второй основной задачи динамики
Рис. 1 Расчётная схема
На рис. 1 обозначено:
P1 ,P2 ,P3 — силы тяжести, N1, N2 — нормальная реакция опорной плоскости,
Fупр — упругая реакция пружины,
Fсц — сила сцепления с опорой,
Y2 ,X2, — реакции подшипника блока 2,
R = — µ*Vсила вязкого сопротивления,
F(t)- возмущающая сила.
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка 3 происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.
Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:
dT
dt= ∑Nek + ∑Nik (1-1)
где Т- кинетическая энергия системы,
∑Nek — сумма мощностей внешних сил,
∑Nik -сумма мощностей внутренних сил.
Теорема (1.1) формулируется так: «Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей внешних и внутренних сил, действующих на точки механической системы.
Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1-3:
T= T1+T2+T3.(1.2)
Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:
T1= 1/2 m1 *υ21 (1.3)
где Vl — скорость груза 1.
Блок 2 совершает вращательное движение около неподвижной оси. Его кинетическая энергия
T2 =1/2*m2*υ2 2+1/2*Jc2 ω22 (1.4)
где
Jn2 = m2 *i22: — момент инерции относительно центральной оси блока;
ω2 — угловая скорость блока.
Блок 3 совершает вращательное движение,
T3 =1/2*Jc3 ω23 гдеjc3 =1/2 m3 *r23 (1.5)
Каток 4 совершает плоскопараллельное движение
T =1/2*m4 *vc42 +1/2*Jc4 * ω42 гдеJc4 = Ѕ*m4 *r42
Кинетическая энергия всего механизма будет равна:
T=1/2m1 υ12 + 1/2m2 *vc22 +1/2*Jc2 ω22 +1/2*Jc3 ω23 + 1/2*m4 *vc42 +1/2*Jc4 *ω42 (1.6)
Выразим υn3., ω2, ω3 через скорость груза 1
vc2 = υ1 =υ=S; => ω3 = (R2 + r2 )*v/R3 *V3 vc4 =ω 4 * r4 = (R2 + r2 )*v/2R2 (1.7)
ω2 =v/r2
Подставляя (1.3), (1.4), (1.5), в (1.6) с учетом (1.7), и вынося 1/2 и V2 за скобки, получаем:T= 1/2(m +m + Jc2 т пр /R22 + Jc3 * (R2 — r2 )2 / R2 * r2 + m4 (R2 + r2 )2 /4r22 + Jc4 (R2 — r2 )2 /4r22 R22 )*υ2
T=1/2mтр v3 2 (1-8)
т пр =m +m2 +m3 1/R22 + 1/2m3 (R2 — r2 )2 / R2 + m4 (R2 + r2 )2 /4r22 + m4 (R2 + r2 )2 /4r22
т пр =8, 21кг(1-9)
Найдем производную от кинетической энергии по времени:
dT/dt= т пр – S*S(1.10)
вычислим сумму мощностей внешних и внутренних сил.
Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения:
N = FV = Fvcos(F, v);(1-11)
Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемые и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:
∑N’=0(1.12)
Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, в том числе сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы N4, ,Y3 ,X3 ,P3 ,Fвд. Сумма мощностей внешних сил:
N=F*V+pV-RV+p2 V2 -Fупр *V4
С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:
(1-13) N= F(t)*V1 +p1 V1 -RV1 + p2 V1 -Fупр V1 * R2 +r2 /2R2 ,
N =( F(t) +p1 – R +p2 — Fупр R2 +r2 /2R2 )V1 , или
N= Fпр * V
Где Fnp приведенная сила.
Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. которое равно сумме статического ѓст и динамического S4 удлинений
Fупр =с(ѓст + S4 ) (1-15)
Сила вязкого сопротивления R =μ V = μ S тогда
Fпр = F(t)+p1 – μ*S+ p2 – c(ѓст + R2 +r2 /2R2 * S) R2 +r2 /2R2, (1-16)
В состоянии покоя приведенная сила равна нулю.
Пологая в (1-16), что S=’S=0 и F(t)= 0 получаем условие равновесия
Fпр = p+ p2 = c *ѓст = R2 +r2 /2R2 =0, (1-17)
Отсюда статистическое удлинение пружины равно:
— c *ѓст R2 +r2 /2R2 = -p1 — p ;
ѓст R2 +r2 /2R2 =(p1 + p2 )/c => ѓст =(p1 + p2 )/c* 2R2 / R2 +r2
ѓст =1/c (p1 + p2) * 2R2 /R2 +r2 ;(1-18)
Подставляем выражение (1-18) в, (1-16) получаем окончательное выражение для приведенной силы .
ѓпр = F(t) + p1 +p2 — μS – c* R2 +r2 /2R2 *1/c (p1 + p2)* *2R2 /R2 +r2 — c*(R2 + r2 )2 /4R22 *S
ѓпр = F(t) — μS- c*(R2 + r2 )2 /4R22 *S; (1-19)
Подставим выражение для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1-19) в (1-1) полуучаем дифференциальное уравнение движения системы ;
mпр =S=- c*(R2 + r2 )2 /4R22 *S- μS+ F0 sin(pt) (1-20)
S = 2nS +k2 S +F0 / mпр sin(pt); (1-21)
Где k циклическая частота свободных колебаний ;
n = μ/2* mпр =100/2*8.21= 6.1с -1 ;
n – показатель степени затухания колебаний ;
k= R2 +r2 /2R2 c/mпр =
1.2 Определение закона движения системы
Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.26). Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:
F = F0-S m{pt),(2.1)
Где Fo — амплитуда возмущающей силы,
р — циклическая частота возмущения.
Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.26) складывается из общего решения однородного уравнения S и частного решения неоднородного: S=Sод +S. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.26) имеет вид:
S + 2*n*S + kz *S = 0;.(2.2)
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
L2 +2*n*L + k2! =0,
L1.2 = -n +- n2 -k2 ;
т.к n <k ,=> решение однородного уравнение имеет вид :
Sос =a * e*sin (k1 *t +β ), где k1 = k2 -n2; частное решение дифференциального уравнения ищем в виде правой части:
k1 =18,31с-1 ;
Sт= A* sin (pt) + B*cos(pt); далее получаем:
(A(k2 — p2 )- 2npB)*sin(pt) + (2 npA +B(k2 — p2 ) )cos(pt)= F0 /mпр *sin(pt);
Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения состояния А и В
A(k2 — p2 )- 2npB = F0 /mпр решая эту систему получаем следующие выражения
2npА + В(k2 — p2 )= 0
A= k2 — p2 / (k2 — p2 )2 + 4n2 p2 * F0 /mпр ; А= 0.011м;
B= — 2np/(k2 — p2 )2 + 4n2 p2 * F0 /mпр ; B= -0.002м;
Общее решение дифференциального уравнения :
S= αe–nt sin (k1 t β) + Asin (pt) + B cos(pt);
S= αe–nt (-nsin(k1 t+β) +k1 cos(k1 t+β)) +Apcos(pt) – Bpsin(pt);
Постоянные интегрирования αи βопределяем из начальных условий
S0 = α sin(β) + B ;
t =0 имеем
S0 = α(- nsin (β) + k1 cos (β)) + Ap
решая эту систему получаем :
α= (S0 — B)2 + (S0 — B) — Ap)2 1/k21 α= 0.045;
β= arctg k1 (S0 –B)2 / S0+n(S0 — B)- Ap β=1.2;
1.3. Определение реакций внешних и внутренних связей
Рис.2
Рис. 2
Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис. 2).
Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении кинетической момента и теорема об изменения количества движения.
Тело№1 αm1 V1 /dt= p1 +T12 S+F+R; наось s: m1 S1 =p1 +F-R-T12 ;
Тело№2 αm2 V2 /dt= p2 +T21 +T20 + T23; наось s: m2 S=p2 + T21 -T20 -T23
т.кV2 = V1 =V=S=>dV1 /dt= dV2 /dt;dl2z =∑M2 z
dJc2 ω/dt= T20 R- T23 r2 ;
Тело№3 dl3z /dt=∑M3z => dJc3 ω3 /dt= T32 r3 – T34 r3 ;
Αm3 V3 /dt=x3 +y3 +p3 +T34 +T12
на ось 0x3 :0=x3 +T34; на ось 0y3 : 0=y3 — p3 — T32 ;
Тело№4 αm4 V4 /dt=T43 +P4 +N4 +Fcy +Fупр ;
на ось 0x4 : m4 S4 =T43 -Fупр +Fsy
с учетом кинематических соотношений (1-7) полученную систему уравнений преобразуем к виду:
m1 S= p1 +F – R-T12 ; 0 = N4 — p4 ; x3 = T34 R
m2 S= p2 +T21 — T20 -T23; y3 =p3 +T34 ‘
Jc2 1/R2 S = T20 R2 — T23 r2 ; Jc4 m4 R2 +r2 /2R2 r4 * S=T43 *
Jc3 R2 +r2 /R2 r3 S= T32 r3 — T34 r3; *r4 — Fcy r4 R
m4 R2 +r2 /2R2 * S= T43 — Fупр +Fcy ;
Решая эту систему получаем выражение для определения реакций связей:
T12 = m g + F0 sin (pt) – μS – mS x2 = T43
T20 = R2 r2 ( p2 + T21 — m2 S) + Jc2 S/ R2 (R2 +r2 ); y3 = p2 + T32
T23 = R22 (p2 + T21 — m2 S) + Jc2 S / R2 (R2 +r2 );
T43 = T32 — Vc3 /V3 * (R2 + r2 )/ R2 r2 * S
Fc = T32 — (R2 -r2 )/ R2 r4 *(JC3 r4 / r2 r3 + Jc4 /2r4 );
Часть 2. ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЙ
2,1 Исходные данные m1 , m2, m3 , m4 , r2 , R2, r3 , r4 , i2 ,μ, F0 , p, S0 , S0 , g ,c.
2,2 Вычисление констант
n = μ/2* mпр; k1 = k2 — n2 ;
ѓст =1/c (p1 + p2) * 2R2 /R2 +r2 ;
A= k2 — p2 / (k2 — p2 )2 + 4n2 p2 * F0 /mпр;
B= — 2np/(k2 — p2 )2 + 4n2 p2 * F0 /mпр;
α= (S0 — B)2 + (S0 — B) — Ap)2 1/k21 ;
β= arctg k1 (S0 –B)2 / S0+n(S0 — B)- Ap ;
2,3 Задание начального времени t=0
2,4 Вычисление значений функций в момент времени t
S= αe–nt sin (k1 t β) + Asin (pt) + B cos(pt);
S= αe–nt (-nsin(k1 t+β) +k1 cos(k1 t+β)) +Apcos(pt) – Bpsin(pt);
S = 2nS +k2 S +F0 / mпр sin(pt);
Fупр =с(ѓст + S4 );
2,5 Вычисление реакций связей
T12 = m g + F0 sin (pt) – μS – mS x2 = T43
T20 = R2 r2 ( p2 + T21 — m2 S) + Jc2 S/ R2 (R2 +r2 ); y3 = p2 + T32
T23 = R22 (p2 + T21 — m2 S) + Jc2 S / R2 (R2 +r2 );
T43 = T32 — Vc3 /V3 * (R2 + r2 )/ R2 r2 * S
Fc = T32 — (R2 -r2 )/ R2 r4 *(JC3 r4 / r2 r3 + Jc4 /2r4 );
2,6 Вывод на печать значений искомых функций в момент времени t
2,7 определение значения времени на следующем шаге t = t + ∆t
2.8 Проверка условия окончания цикла t ≤ tкон
2,9 Возврат к пункту 2,4
Часть 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера — Лагранжа
Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера — Лагранжа:
(1)∑σAk + ∑ σA0k =0;
| где |
∑ σAk = ∑Fk σrk — сумма элементарных работ всех активных сил на
возможном перемещении системы;
— сумма элементарных работ всех сил инерции на
(=1*■=!
возможном перемещении системы.
Рис.3
Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис 3). Идеальные связи N4, X3, Y3, Fcu не учитывают и не отображают на расчётной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении равна нулю.
Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:
∑ σA0k = Aσ+ σAp + σAp1 +σAp2 + σAp4 + σAFупр ;
Вычисляем последовательно элементарные работы активных сил и суммируя их получаем:
(2) ∑ σA0k = — Fпр σS, ∑- σA0k = ( — c (R2 + r2 )2 / 4R22 * S – μS + F(t)) *σS;
Найдем возможную работу сил инерции:
∑ σA0k = -φ1 σS1 – φσS2 — M2 σφ2 – M3 σφ3 – φ4 σS4 — M4 φ4 σ ;
Запишем выражение для главных векторов и главных моментов сил инерции
φ1 = m1 a =m1 S; φ4 = m4 a4 = m4 S4; M4 = Jc4 *E4 = Jc4 * φ4 ;
φ2 = m2 a2 = m2 S2; M2 = Jc2 *E2 = Jc2 * φ2 ;
φ3 =0; M3 = Jc3 *E3 = Jc3 * φ3 ;
Используя кинематические уравнения (1.7) можно записать
σS2 = σ S; σ φ2 = 1/R2 σ S; σ φ3 = R2 + r2 / R2 r3 * σS;
σ φ4 = R2 + r2 / R2 r3 * σS; σS4 = R2 + r2 / 2R2 * σS;
S4 = R2 + r2 / 2R2 * S
S2 =S; φ2 = 1/R2 *S; φ3 = R2 + r2 / R2 r3 * S;
φ3 = R2 + r2 / 2R2 r3 *S;
Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду :
∑ σA0k = -( m1 +m2 + Jc2 1/R22 + (R2 + r2 )2 / R22 r3 2 + m4 ( R2 + r2 )2 / 4R22
+ Jc4 (R2 + r2 )2 / 4R22 r3 2 )* Sσ S;
(3)∑ σA0k = — mпр * Sσ S;
далее подставляя выражение (2) и (3) в (1) т.е в общее уравнение динамики получаем
Поделив это уравнение на σS = 0 получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:
S + 2nS + k2 S = F0 /mпр sin (pt), где k = R2 +r2 /2R2 c/mпр = 19, 3 c-1
n = μ / 2 mпр = 6.1 c-1
Полученное нами дифференциальное уравнение полностью совпадает с полученными ранее уравнением
3.2. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода
Составим теперь уравнение Лагранжа 2-ого рода. В качестве обобщенной координаты примем перемещение груза 1 — S. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:
d/dt * σ T/ σS — σ T/ σ S (3.3)
где Т — кинетическая энергия системы; Q — обобщенная сила; S — обобщенная координата; S — обобщенная скорость. Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее:
(3.4) T=1/2mтр v3 2
т пр =m +m2 +m3 1/R22 + 1/2m3 (R2 — r2 )2 / R2 + m4 (R2 + r2 )2 /4r22 + m4 (R2 + r2 )2 /4r22
Производные от кинетической энергии:
(3.5) σT/ σS= 0; σT/ σS = т пр S; d/dt * σT/ σS= т пр S;
Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение σS (рис.3) и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения [см.(2)].
(3.6) ∑ σA0k = — Fпр σS, ∑- σA0k = ( — c (R2 + r2 )2 / 4R22 * S – μS + F(t)) *σS;
С другой стороны для системы с одной степенью свободы:
∑ σA0k =QσS( 3.7)
Сравнивая два последних соотношения, получаем:
Q = — c (R2 + r2 )2 /4R22 *S – μ*S + F(t).
Подставляя производные (3.5) и обобщенную силу (3.8) в уравнение Лагранжа(3.3), получаем;
Q = — c (R2 + r2 )2 /4R22 *S – μ*S + F0m(pt) ,
S + 2nS + k2 S = F0 /mпр sin (pt), где k = R2 +r2 /2R2 c/mпр = 19, 3 c-1
n = μ / 2 mпр = 6.1 c-1
Анализ результатов
В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты тнр, п, к получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей.
Использованная литература
1. Методические указания к курсовой работе по разделу „Динамика“, „Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы“. Разработали: профессор Нечаев Л.М., доцент Усманов М.А. Тула 1998.
2. Яблонский А.А. „Курс теоретической механики.“ Том 2 — М.: Высшая школа
1984-424 с.
3. Тарг СМ. „Краткий курс теоретической механики“ — М.: Наука, 1988 — 482 с.22