Контрольная работа: Решение игры в смешанных стратегиях

Решение игр в смешанных стратегиях.

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. Так, в примере 1 α ≠ β, седловая точка отсутствует. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией SA игрока А называется применение чистых стратегий A1, A2, ..., Am с вероятностями p1, p2, ..., pi, ..., pm причем сумма вероятностей равна 1:

Смешанные стратегии игрока А записываются в виде матрицы

или в виде строки SA = (p1, p2, ..., pi, ..., pm )

Аналогично смешанные стратегии игрока В обозначаются:

, или, SB = (q1, q2, ..., qi, ..., qn ),

где сумма вероятностей появления стратегий равна 1:

Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой, в которой 1 соответствует чистой стратегии. На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение (или решение ) игры: это пара оптимальных стратегий S*A, S*B в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры v. Цена игры удовлетворяет неравенству:

α ≤ v ≤ β

где α и β — нижняя и верхняя цены игры. Справедлива следующая основная теорема теории игр — теорема Неймана . Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий. Пусть S*A = (p*1, p*2, ..., p*i, ..., p*m ) и S*B = (q*1, q*2, ..., q*i, ..., q*n ) — пара оптимальных стратегий. Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с отличной от нуля вероятностью, то она называется активной.

Справедлива теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v, если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

Эта теорема имеет большое практическое значение — она дает конкретные модели нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.

Рассмотрим игру размера 2×2, которая является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение — это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке.

Игра, в которой отсутствует седловая точка, в соответствии с основной теоремой теории игр оптимальное решение существует и определяется парой смешанных стратегий S*A = (p*1, p*2 ) и S*B = (q*1, q*2 ).

Для того чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях. Если игрок А придерживается своей оптимальной стратегии S'A, то его средний выигрыш будет равен цене игры v, какой бы активной стратегией ни пользовался игрок В. Для игры 2×2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка. Выигрыш игрока А (проигрыш игрока В ) — случайная величина, математическое ожидание (среднее значение) которой является ценой игры. Поэтому средний выигрыш игрока А (оптимальная стратегия) будет равен v и для 1 -й, и для 2 -й стратегии противника.

Пусть игра задана платежной матрицей

Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию

,

а игрок В — чистую стратегию B1 (это соответствует 1 -му столбцу платежной матрицы Р ), равен цене игры v: a11 p*1 + a21 p*2 = v. Тот же средний выигрыш получает игрок А, если 2 -й игрок применяет стратегию B2, т.е. a12 p*1 + a22 p*2 = v. Учитывая, что p*1 + p*2 = 1, получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии S'A и цены игры v :

Решая эту систему, получим оптимальную стратегию

и цену игры

Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании S* B — оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (А1 или А2 ) средний проигрыш игрока В равен цене игры v, т.е.

Тогда оптимальная стратегия определяется формулами:

Пример 1.

Игра «поиск»

Игрок А может спрятаться в одном из двух убежищ (I и II ); игрок В ищет игрока А, и если найдет, то получает штраф 1 ден. ед. от А, в противном случае платит игроку А 1 ден. ед. Необходимо построить платежную матрицу игры.

Решение. Для составления платежной матрицы следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I – обозначим эту стратегию через A1 или в убежище II — стратегия A2.

Игрок В может искать первого игрока в убежище I — стратегия B1, либо в убежище II — стратегия B2. Если игрок А находится в убежище I и там его обнаруживает игрок В, т.е. осуществляется пара стратегий (A1, B1 ), то игрок А платит штраф, т.е. a11 = — 1. Аналогично получаем a22 = — 1 (A2, B2 ). Очевидно, что стратегии (A1, B2 ) и (A2, B1 ) дают игроку А выигрыш 1, поэтому a12 = a21 = 1. Таким образом, для игры «поиск» размера 2×2 получаем платежную матрицу

Применим полученные результаты для отыскания оптимальных стратегий для игры, рассмотренной в примере 1.

Пример 2.

Найти оптимальные стратегии игры, приведенной в примере 1.

Решение. Игра «поиск» задана платежной матрицей без седловой точки:

Поэтому ищем решение в смешанных стратегиях; для игрока А средний выигрыш равен цене игры v (при B1 и B2 ); для игрока В средний проигрыш равен цене игры v (при A1 и B2 ). Системы уравнений в данном случае имеют вид:

Решая эти системы, получаем

Это означает, что оптимальная стратегия каждого игрока состоит в том, чтобы чередовать свои чистые стратегии случайным образом, выбирая каждое из убежищ с вероятностью 1/2 , при этом средний выигрыш равен .

РЕФЕРАТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

НА ТЕМУ: «Решение игры в смешанных стратегиях».