Книга: Эконометрика 7

Оглавление:

1.Задача №19( Практикум по эконометрике, Елисеева И.И., Курышева С.В., Гордиенко Н.М., стр.38.)

2. Методы исключения тенденции в анализе временных рядов.

3. Список использованной литературы

1. Задача № 19

1. По территориям Центрального района известны данные за 1995 г.

№ п/п	Район	Средний размер назначенных ежемесячных пенсий, тыс. руб., y	Прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера в месяц, тыс. руб., x
1	Брянская обл.	240	178
2	Владимирская обл.	226	202
3	Ивановская обл	221	197
4	Калужская обл.	226	201
5	Костромская обл.	220	189
6	г. Москва	250	302
7	Московская обл.	237	215
8	Орловская обл.	232	166
9	Рязанская обл.	215	199
10	Смоленская обл.	220	180
11	Тверская обл	222	181
12	Тульская обл.	231	186
13	Ярославская обл.	229	250

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспо­ненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и де­терминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надеж­ность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Опре­делите доверительный интервал прогноза для уровня значимости

а = 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитиче­ской записке.

Решение:

Для удобства вычислений в ходе решения будем достраивать исходную таблицу данных до вспомогательной таблицы (см. расчетную таблицу ниже), округляя и занося в неё промежуточные результаты.

1) Основные характеристики выборки

Средние значения:и .

Стандартные отклонения:и .

Итак, по данным регионам средний размер назначенных ежемесячных пенсий составляет 228,38руб. со стандартным отклонением 9,29 руб., а прожиточный минимум в среднем на одного пенсионера – 203,54 руб. со стандартным отклонением 34,75 руб.

Поле корреляции и линия регрессии:

Сначала построим поле корреляции – точки с координатами (х i , у i ), и принимая во внимание экономические соображения, по их расположению сформулируем предположение о связи Y и X .

Визуальный анализ полученного графика показывает, что точки поля корреляции располагаются вдоль некоторой воображаемой прямой линии, но не очень плотно, рассеиваясь около неё. Можно предположить, что связь прожиточного минимума и среднего размера назначенных ежемесячных пенсий положительная, не очень тесная.

Это предположение проверим с помощью линейного коэффициента корреляции :

Линейная связь положительна, теснота связи средняя, умеренная.

2) Линейная парная регрессионная модель

Предположим, что связь между величиной прожиточного минимума и средним размером назначенных ежемесячных пенсий – линейная, а значит, и для данной выборки модель также линейная: ; то есть решение сводится к нахождению линейного уравнения регрессии по выборке: . Таким образом, нужно найти коэффициенты регрессии a, b. Используя для этого классический подход, который основан на методе наименьших квадратов, приходим к системе нормальных уравнений:

.

Все необходимые числовые значения рассчитаны ранее (см. расчетную таблицу), подставим их в систему нормальных уравнений:

ему нормальных уравнений: бюджет льуплений от налога на прибыль предприятий о с увеличением размера среднемесячной зарплаты Х н

и решим её относительно a, b . Получим коэффициенты регрессии: a =197,85 и b = 0,15

Итак, уравнение регрессии имеет вид:.

Экономический смысл данного уравнения заключается в том, что с увеличением прожиточного минимума в среднем на одного пенсионера в месяц на 1 тыс.руб., средний размер назначенных ежемесячных пенсий возрастает на 0,15 тыс.руб.

В декартовой системе координат Х, У на поле корреляции строим и график линии регрессии по найденному уравнению (см. выше).

3) Коэффициент детерминации

По свойству:, он показывает, что доля вариации y объясненная вариацией фактора х включенного в уравнение регрессии равна 31%, а остальные 69% вариации приходятся на долю других факторов, не учтенных в уравнении регрессии.

Итак, полученный линейный коэффициент корреляции , коэффициент регрессии b = 0,15 и коэффициентдетерминациисвидетельствуют, что линейная зависимость суммы прожиточного минимума и среднего размера назначенных пенсий в регионах положительная, умеренная.

4) Средний коэффициент эластичности :

Для линейной регрессии: . Средний коэффициент эластичности показывает, что в среднем при повышении размера прожиточного минимума в месяц на 1% от своего среднего значения сумма среднего размера назначенных ежемесячных пенсий увеличивается на 0,134% от своего среднего значения. Эластичность прожиточного минимума по размеру назначенных ежемесячных пенсий невелика, что вполне согласуется с экономической теорией, а потому небольшое увеличение или уменьшение прожиточного минимума не влечет за собой резкого повышения или понижения размера назначенных ежемесячных пенсий.

5) Оценка качества уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации , которая показывает среднее отклонение расчетных значений от фактических. Допустимый предел ее значений 8-10%.

=2,93 говорит о хорошем качестве уровня регрессии т.е. свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.

6) Оценка статистической надежности результатов регрессионного моделирования с помощью F -критерия Фишера.

Рассчитаем F-критерий Фишера, применяемый для оценки качества уравнения регрессии. Выполняется сравнение Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Если табличное значение меньше фактического, то признается статистическая значимость и надежность характеристик, если наоборот, то признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.:

Так как , то признается статистическая значимость уравнение в целом.

7) Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня.

Следовательно, значения факторного признака для точечного прогноза:

а точечный прогноз :

Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза:

Опре­делим доверительный интервал прогноза для уровня значимости

α = 0,05.

Из полученных результатов видно, что интервал от 212,06 до 250,70 тыс. руб. ожидаемой величины среднего размера назначенных ежемесячных пенсий довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии, связана прежде всего с малым объемом выборки (n=13), а также тем, что по мере удаления xp от ширины доверительного интервала увеличивается.

Выводы: Линейный коэффициент парной корреляции равен 0,56, следовательно, связь изучаемых явлений является заметной, прямой.

Коэффициент детерминации равен 0,31, т.е. вариация результата на 31% объясняется вариацией фактора х.

При изменении в среднем прожиточного минимума на одного пенсионера на 1%, то средний размер назначенных ежемесячных пенсий изменится приблизительно на 13%.

Средняя ошибка аппроксимации равна 2,93%, что попадает в допустимый предел значений 8-10% и говорит о том, что расчетные значения отклоняются от фактических примерно на 3%.

Полученное значение F-критерия превышает табличное, следовательно, параметры уравнения и показателя тесноты статистически незначимы.

И гипотеза Hо о случайной природе оцениваемых ха­рактеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надеж­ность.

Интервал от 212,06 до 250,70 тыс. руб. ожидаемой величины среднего размера назначенных ежемесячных пенсий довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии, связана прежде всего с малым объемом выборки (n =13), а также тем, что по мере удаления xp отширина доверительного интервала увеличивается.

Рекомендации по улучшению модели: проверить и устранить нарушения предпосылок МНК, в частности гетероскедастичности и/или автокорреляции остатков; добавить в модель другие существенные факторы; увеличить объем выборки.

Расчетная таблица

№ п/п	Район	y	x	yx	x2	y2		y-	(y-)2	Ai
1	Брянская обл.	240	178	42720	31684	57600	224,55	15,45	238,81	6,44
2	Владимирская обл.	226	202	45652	40804	51076	228,15	-2,15	4,64	0,95
3	Ивановская обл	221	197	43537	38809	48841	227,40	-6,40	40,99	2,90
4	Калужская обл.	226	201	45426	40401	51076	228,00	-2,00	4,01	0,89
5	Костромская обл.	220	189	41580	35721	48400	226,20	-6,20	38,44	2,82
6	г. Москва	250	302	75500	91204	62500	243,18	6,82	46,49	2,73
7	Московская обл.	237	215	50955	46225	56169	230,11	6,89	47,51	2,91
8	Орловская обл.	232	166	38512	27556	53824	222,74	9,26	85,69	3,99
9	Рязанская обл.	215	199	42785	39601	46225	227,70	-12,70	161,36	5,91
10	Смоленская обл.	220	180	39600	32400	48400	224,85	-4,85	23,50	2,20
11	Тверская обл	222	181	40182	32761	49284	225,00	-3,00	8,98	1,35
12	Тульская обл.	231	186	42966	34596	53361	225,75	5,25	27,57	2,27
13	Ярославская обл.	229	250	57250	62500	52441	235,37	-6,37	40,54	2,78
Σ(Сумма)	2969	2646	606665	554262	679197	2969	0,00	768,52	38,13
Среднее значение	228,38	203,54	46666,54	42635,54	52245,92	228,38	0,00	59,12	2,93

2. Методы исключения тенденции в анализе временных рядов.

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд

последовательных моментов (периодов), называются моделями временных

рядов.

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за

несколько последовательных моментов или периодов.

Применение традиционных методов корреляционно-регрессионного ана-

лиза для изучения причинно-следственных зависимостей переменных, пред-

ставленных в форме временных рядов, может привести к ряду серьезных про

блем, возникающих как на этапе построения, так и на этапе анализа экономет

рических моделей. В первую очередь эти проблемы связаны со спецификой

временных рядов как источника данных в эконометрическом моделировании.

Предполагается, что в общем случае каждый уровень временного ряда содер

жит три основные компоненты: тенденцию (Т), циклические или сезонные ко

лебания (S) и случайную компоненту (E).

Если временные ряды содержат сезонные или циклические колебания, то

перед проведением дальнейшего исследования взаимосвязи необходимо устранить сезонную или циклическую компоненту из уровней каждого ряда, поскольку ее наличие приведет к завышению истинных показателей силы и связи изучаемых временных рядов в случае, если оба ряда содержат циклические колебания одинаковой периодичности, либо к занижению этих показателей в случае, если сезонные или циклические колебания содержит только один из рядов или периодичность колебаний в рассматриваемых временных рядах различна.

Устранение сезонной компоненты из уровней временных рядов можно

проводить в соответствии с методикой построения аддитивной и мультипликативной моделей.

Если рассматриваемые временные ряды имеют тенденцию, коэффициент

корреляции по абсолютной величине будет высоким, что в данном случае есть результат того, что х и у зависят от времени, или содержат тенденцию. Для того чтобы получить коэффициенты корреляции, характеризующие причинноследственную связь между изучаемыми рядами, следует избавиться от так называемой ложной корреляции, вызванной наличием тенденции в каждом ряде.

Влияние фактора времени будет выражено в корреляционной зависимости

между значениями остатков εt за текущий и предыдущие моменты времени, которая получила название «автокорреляция в остатках».

Автокорреляция в остатках есть нарушение одной из основных предпосы-

лок МНК – предпосылки о случайности остатков, полученных по уравнению

регрессии. Один из возможных путей решения этой проблемы состоит в применении к оценке параметров модели обобщенного МНК. При построении уравнения множественной регрессии по временным рядам данных, помимо двух вышеназванных проблем, возникает также проблема

мультиколлинеарности факторов, входящих в уравнение регрессии, в случае если эти факторы содержат тенденцию.

3.Список использованной литературы:

1.Эконометрика: Учебник / Под ред. Елисеевой И.И. — М.: Финансы и статистика, 2004. — 344с.

2.Практикум по эконометрике: Учебное пособие / Под ред. Елисеевой И.И. — М.: Финансы и статистика, 2004. — 192с

3.Сборник задач по эконометрике: Учебное пособие для студентов экономических вузов/ Е.Ю.Дорохина, П.Ф.Преснякова, Н.П. Тихомиров.-М.: Издательство «Экзамен», 2003г.-224с.

4.Эконометрика: Учебник для вузов (под ред. Мхитаряна В.С.) Мхитарян В.С. Балаш В.А. Архипова М.Ю.