Книга: Дискретное преобразование Фурье 2

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики (Технический университет)

Гуманитарный факультет

Индивидуальная работа по дисциплине Эконометрика

на тему

Дискретное преобразование Фурье

Выполнил: студент

Рогов Ш.В., группа 4071
Руководитель: Коростелева Т.А.

Санкт – Петербург

2010

Дискретное преобразование Фурье

Существует две формы преобразования Фурье — интегральное преобразование (1)

и

(2),

которое определено на бесконечном интервале непрерывных значений времени и отображает непрерывную временную функцию в частотную область, и непрерывно-дискретное преобразование

(3),

которое определено на бесконечном интервале дискретных значений времени и тем самым дает возможность определять частотный состав сигнала, заданного бесконечным временным рядом. Для вычислений на ЭВМ применяется третья форма записи — дискретное преобразование Фурье, в которой как X( f), так и x( t) дискретны и пределы суммирования конечны:

(4)

Дискретные значения частот в преобразовании (4) обусловлены конечной длиной записи, т.е. конечностью временного ряда. Здесь для краткости, как и в случае непрерывно-дискретного преобразования, вместо x( iT) используется обозначение x( i). Точно также вместо X( bk) записано X( k). Величина b зависит от интервала дискретизации: b=( NT)Г1.

К форме записи (4) можно перейти от непрерывно-дискретного преобразования Фурье (3), полагая x( i)=0 для i<0 и i>( N-1), а также определяя дискретные значения частот следующим образом: fk = bk. Покажем это.

Укажем некоторые особенности дискретного преобразования Фурье, знание которых необходимо для правильного составления алгоритма вычисления на ЭВМ.

1. Согласно теореме Котельникова, максимально возможной частотой в спектре является частота Найквиста Fn =(2 T)Г1, поэтому соответствующее значение k в формуле (4) определяется из условия fk= Fn:

Отсюда следует, что частота Найквиста соответствует середине последовательности X( k). Это означает, что значениям индексов k в промежутке 0,…, N/2 соответствуют частоты, непревосходящие частоту Найквиста. Какой же смысл имеют величины X( k) при k> N/2? Оказывается, что этим величинам соответствуют отрицательные частоты. Покажем это. В формуле (4) заменим индекс k на -p:

Далее умножим экспоненту на единицу, записанную в виде: :

т.е. X(-p)=X(N-p). Таким образом, при вычислении дискретного преобразования Фурье, подобно случаю непрерывного преобразования, в спектре с необходимостью появятся отрицательные частоты, которые однако отсутствуют в реальном спектре и появление которых и в дискретном, и в непрерывном случаях обусловлено математической операцией преобразования Фурье. Поэтому для N значений данных получается примерно вдвое меньше значений спектральных составляющих.

2. Дискретное преобразование Фурье является периодическим. Покажем это. Предположим, например, что i= pN+ q; p, q, — целые числа, причем 0 ≤ q≤ N-1. Подставим новое значение i в выражение обратного преобразования Фурье:

Последнее в этом выражении равенство обусловлено тем, что множитель равен единице. Аналогичное доказательство можно провести для функции X( k). Таким образом, если попытаться продолжить вычисления для индексов k> N, то полученные значения X( k) полностью повторят уже имеющиеся: X( k+ N) = X( k). Поэтому для вычисления функций x( i) и X( k) вне множества 0,…,( N-1) следует брать значения их индексов по модулю N .

еще рефераты
Еще работы по математике