Книга: Комплексные числа и действия над ними
Для нахождения решения часто встречающихся в практических исследованиях дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами необходимо рассмотреть комплексные числа и действия над ними.
Комплексным числом называется выражение вида
,
где — реальная часть z (действительное число),
— мнимая часть z,
— мнимая единица.
Два комплексных числа и равны, если, .
Комплексное число равно нулю, если .
Два числа и называются комплексно-сопряженными.
| Рис. 83 | Любое комплексное число можно изобразить на так называемой комплексной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат в виде точки или вектора (рис. 83). Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается. Очевидно. Обозначим через угол, образуемый вектором с осью Оx. |
Тогда можно записать
или
Угол называется аргументом комплексного числа. Аргумент определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемого. Сопряженные комплексные числа и имеют равные модули, а. Любое комплексное число можно записать в тригонометрическом виде, т. е.
.
Данный вид записи позволяет облегчить действия над комплексными числами.