Книга: Нелинейная теория функции Зильберта в частных производных

Министерство Образования и Науки Украины

Харьковский национальный университет имени Н.Н. Зильберта

А.А. Тензор, В.В. Невязкин

Нелинейная теория функции Зильберта

в частных производных

ТОМ 2

Харьков 2007

XFVBGD4567

ВДОПШ26986

Издание второе

Предназначено для студентов старших курсов

ОГЛАВЛЕНИЕ:

Дифференциальная геометрия 4

Теория вероятности 5

Теоретическая механика 5

Функциональный анализ 6

Уравнения математической физики	7
Численные методы	8
Задачи	9
Список использованной литературы	11

Методы оптимизации и теория управления 7

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Определение . Кривая называетсякривой, если она кривая.

Определение . Кривая называетсяочень кривой, если она очень кривая.

Теорема

Рассмотрим кривую кривую.

∞

Она измерима по Зильберту ⇔ её радиус кривизны →.

8 Следствие . Прямая измерима по Зильберту. Её мера равна её длине.

Доказательство (теоремы) . Достаточность. Рассмотрим такую кривую γ, радиус кривизны которой R . Значит,

кривизна γ:

1 8 1 k = = = ⋅ 8 = 0 8 ⋅ = 0.

R ∞ ∞

Следовательно, γ – прямая.

Необходимость. Поскольку кривизна прямой равна k =0, мы можем записать:

1 ∞

k = 0 = 0·8 ⇒R = =.

k 8

Теорема доказана условно.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

В теории функции Зильберта существует сходимость “да нет, наверное”, а именно:

Определение . Последовательность { }сходится “да нет, наверное ” к числу ξ ∈Z (пространство Зильберта): ξk ⎯⎯→НЕТ ⎯! ξ ⇔ когда она не сходится к этому числу.

Определение . Писдерсией πD x [ ] называется величина, матьожидание которой равно .

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

В случае, когда все связи идеальные и стационарные,

∂q k верно, что = 0, что значительно упрощает все формулы и ∂q j

теоремы из этого курса!

Окончательный результат:

Если в формуле вместо y подставить y, то формула останется верной для ∀y .

Этот факт даётся без доказательства.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Определение . Если последовательность имеет предел, который её удовлетворяет, то последовательность остаётся довольной.

Теорема . Если последовательность имеет предел, то и предел её тоже имеет.

(Доказательство было приведено в курсе дифференциальных уравнений)

– А что говорит Хвилиппов?

– Хвилиппов молчит!

Аксиома . Если ты разговаривал с Хвилипповым, то ты – Литрович, а если Хвилиппов тебе отвечал, – это алкоголизм!

Теорема . Если в обеих частях неравенства стоит одно и то же, то это равенство!

Доказательство . Необходимость. Обозначим через α что-то, что стоит в обеих частях неравенства:

α > α.

Положим на α и заменим его на неотрицательную константу Ц:

Ц>Ц ≥ 0.

Константы сокращаются, и мы получаем верное равенство:

0 > 0 ⇒ 0 = 0.

Что и требовалось доказать.

Достаточность. Доказать самостоятельно или при помощи водки

почувствуй вкус диffуров.

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ и ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

Минус первая и минус вторая производные

Определение . Минус первой производной функции f называется такая величина: − f '.

Определение . Минус вторая производная функции f: − f ′′.

Рассмотрим функционал

ЖЫ (y ) = ∫ (f '(y y y, ', *) − f y y y (, ', *) )dx → inf (*)

Замечание. Из курса русского языка известно:

«ЖИ–ШИ пишется с И»,

но в данном случае «Ы» – это оператор!

Оператор «Ы»

Определение . Оператором «Ы» называется дифференциальный оператор, который функции Ж ставит в соответствие интеграл (*).

УРАВНЕНИЯ МАТ. ФИЗИКИ

Задача. Найти функцию Грея для системы:

⎧ ∞

⎪Δu = 8, x 5 = 0,

⎪

⎨ 0, x 6 = 0,

⎪u = З (x y z,, ), x i ≥ 0.

⎪

⎩

Подсказка. Если x y, ∈ M решать эту задачу, нужно извлечь корешок из u, x, y и z. З (x,y,z ) – функция Зильберта.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Теорема

Если вам лень делать оценку по Рунге, позовите Рунге, и он сам её сделает!

Проверить самостоятельно.

Определение . Обратным элементом к бесконечности ∞ явля-

∞

ется конечность, а обратным к является.

Точные значения этих величин даёт метод подгонки под ответ с двойным пересчётом.

Лабораторная работа №13

Вычисление сингулярных интегралов методом подгонки под ответ

Вычислить сингулярный интеграл

f x ( ) b − a

I z ( ) =∫a x − z dx; z j = +a jh 0; j = 1,n 0 − 1; h 0 = n 0.

с заданной точностью ε = 10−24 на отрезке [1;1.05] с помощью метода подгонки под ответ с двойным пересчётом. Для этого потребуется методичка с ответами и дискета с готовой программой.

На печать вывести N, π, количество итераций и невязку в виде таблицы:

количество

итераций

невязка R

ЗАДАЧИ

1. Вычислить ё. d e 2

Решение: ё = 2 = 0, т.к. e ≈ 2,7 = const и от t не зависит, а

производная от константы равна 0. Ответ: ё =0.

2. Вычислить интеграл ∫ dx .

dx 1 dx 1

Решение: ∫ dx = d ∫ x = d ln | x | +C .

3. Построить треугольник, у которого все углы равны 00. Решение:

Рис. 1. Треугольник с тремя нулевыми углами

В пространстве Лобачевского (в верхней полуплоскости) такой треугольник имеет 3 угла по 00.

4. Вопрос: метод Зильберта решения СЛАУ точный или приближённый? (Ответ – невязка мнимая, так что этот метод даёт результат точнее, чем есть искомая величина)

5. Найти минус третью производную функции f x ( ) = x 3 .

Решение: Минус третья производная: − f ′′′ ( )x = − (x 3 ) ′′′ = − 6.

Ответ: –6.

6*. Построить конформное отображение из области «ВАСЯ» на правую полуплоскость (левую полу-ёлку):

СПИС ОК ИСПОЛЬ ЗОВАННОЙ ЛИТЕ РАТУРЫ:

1. Хвилиппов А. У. «Сборник задач по диффурам»

2. конспекты студентов мех-мата по:

— дифф. геометрии,

— матанализу,

— диффурам,

— теормеху,

— функану,