Доклад: Истечение жидкости из резервуара
Заполненный жидкостью резервуар имеет в дне отверстие, через которое вытекает жидкость. Скорость истечения жидкости определяется формулой где с — постоянная, зависящая от типа жидкости (для воды, например, с=0,6); g-ускорение свободного падения; h-высота уровня жидкости над отверстием.
Пример 5.Коническая воронка высотой H с углом раствора при вершине, равным (рис.12.7), заполнена водой. Вода вытекает через отверстие, площадь которого. Найти время, за которое вся вода вытечет из воронки.
Решение. Пусть в момент времени t высота уровня жидкости над отверстием h=h(t). Предположим, что за время dt уровень воды в воронке понизится на dh. Тогда для малого dt объем вытекшей жидкости будет равен объему цилиндра высотой dh и радиусом т.е. За это же время dt через отверстие вытечет объем воды, равный объему цилиндра, площадь основания которого и высота т.е.
Приравнивая полученные выражения, приходим к дифференциальному уравнению
Это уравнение с разделяющимися переменными. Используя начальные данные , получаем математическую модель (задачу Коши) рассматриваемого процесса:
Решив задачу Коши, будем иметь
Время Т, за которое жидкость вытечет из воронки, определяется соотношением