Билеты: ЗНО математика 2007
МАТЕМАТИКА
ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ 2007 РОКУ З ВІДПОВІДЯМИ ТА КОМЕНТАРЯМИ
Тест зовнішнього незалежного оцінювання з математики перевіряє:
• відповідність знань, умінь і навичок учнів програмовим вимогам;
• рівень навчальних досягнень учнів;
• ступінь підготовленості випускників загальноосвітніх навчальних закладів до подальшого навчання у вищих навчальних закладах.
При укладанні тесту були використані підручники та посібники, рекомендовані Міністерством освіти і науки України для класів універсального, природничого, фізико-математичного профілів, а також для класів, шкіл, ліцеїв і гімназій математичного профілю та для спеціалізованих шкіл і класів з поглибленим вивченням математики.
Частина 1
ЗАВДАННЯ З ВИБОРОМ ОДНІЄЇ ПРАВИЛЬНОЇ ВІДПОВІДІ
1. Розташуйте у порядку спадання числа 5; 2log2 5 ; .
А | Б | В | Г | Д | |
2log2 5; ; 5 | ; 5; 2log2 5 | ;2log2 5; | 5 | 5; ; 2log2 5 | 2log2 5; 5; |
Правильна відповідь: А.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дійсні числа. Порівняння чисел. Основна логарифмічна тотожність.
2. Банк сплачує своїм вкладникам 8% річних. Визначте, скільки грошей треба покласти на рахунок, щоб через рік отримати 60 грн. прибутку.
А | Б | В | Г | Д |
1150 | 1050 | 950 | 850 | 750 |
Правильна відповідь: Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі на відсотки.
3. З натуральних чисел від 1 до 30 учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа 30?
А | Б | В | Г | Д |
Правильна відповідь: В.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Поняття ймовірності випадкової події.
4. Розв’яжіть нерівність х + 1 > 1 − 2. х −3 х −3
А | Б | В | Г | Д |
(−2;3) | (−2;+∞) | (−∞;−2)U(−2;+∞) | (−∞;3)U(3;+∞) | (−2;3)U(3;+∞) |
Правильна відповідь: Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дробово-раціональні нерівності.
5. Знайдіть область визначення функції у = х +9.
А | Б | В | Г | Д |
[3;+∞) | [9;+∞) | [−3;+∞) | [−9;+∞) | [−9;9] |
Правильна відповідь: Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: область визначення.
6. Будівельна компанія закупила для нового будинку металопластикові вікна та двері у відношенні 4:1. Укажіть число, яким може виражатися загальна кількість вікон та дверей в цьому будинку.
А | Б | В | Г | Д |
41 | 45 | 54 | 68 | 81 |
Правильна відповідь: Б.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Застосування ознак подільності чисел до розв’язування задач.
Правильна відповідь: Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень виразів, що містять тригонометричні функції.
8. Розв’яжіть рівняння tg х = 3 2
А | Б | В | Г | Д |
Z | Z | Z | інша відповідь |
Правильна відповідь: Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.
9. За видом графіка функції у = кх + b визначте знаки коефіцієнтів к іb. Оберіть правильне твердження.
А | Б | В | Г | Д |
⎧k > 0, ⎨ ⎩b < 0 | ⎧k < 0, ⎨ ⎩b > 0 | ⎧k < 0, ⎨ ⎩b < 0 | ⎧k > 0, ⎨ ⎩b > 0 | ⎧k = 0, ⎨ ⎩b > 0 |
Правильна відповідь: Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Лінійна функція та її властивості.
10. Укажіть парну функцію.
А | Б | В | Г | Д |
y = x | y = 2x | y =tgx | y = log2 x | y = x 2 |
Правильна відповідь: Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості елементарних функцій: парність.
11. Обчисліть log5
А | Б | В | Г | Д |
− | − | − 2 | ||
Правильна відповідь: А. Компоненти програмових вимог, що перевіряються за 12. Розв’яжіть нерівність log0,1 10 < log0,1 x . | вданням: Властив | ості логарифма. | ||
А | Б | В | Г | Д |
(10;+∞) | (0; 10) | (0,1; 10) | (−10; 0) | (−∞;10) |
Правильна відповідь: Б.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших логарифмічних нерівностей, використовуючи властивості логарифмічної функції.
13. Розв’яжіть рівняння 3 8х = 2 ⋅3 2
А | Б | В | Г | Д |
Правильна відповідь: Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування найпростіших показникових рівнянь.
14. Укажіть, скільки дійсних коренів має рівняння х 3 − 4х = 0.
А | Б | В | Г | Д |
жодного | один | два | три | більше трьох |
Правильна відповідь: В.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з модулем.
15. Знайдіть первісну функції f (х ) = 2х + 2, графік якої проходить через точку з координатами (1;4).
А | Б | В | Г | Д |
F (х ) = х 2 + 2х | F (х ) = х 2 + 2х +1 | F (х ) = х 2 + 2х + 2 | F (х ) = х 2 + 2х −4 | F (х ) = х 2 + 2х − 23 |
Правильна відповідь: Б.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Первісна. Основна властивість первісної. Правила знаходження первісних.
16. На рисунку зображений графік функції у = f (х ) та дотичні до нього в точках х 1 та х 2 . Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть f ′(х 1 ) + f ′(х 2 ).
Правильна відповідь: А.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Геометричний зміст похідної.
17. Градусна міра зовнішнього кута А рівнобедреного трикутника АВС (АВ = ВС) становить 125°. Знайдіть градусну міру внутрішнього кута В.
А | Б | В | Г | Д |
30о | 40о | 50о | 60о | 70о |
Правильна відповідь: Д.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивість рівнобедреного трикутника. Сума кутів трикутника. Градусна міра кута.
18. Точка М – середина сторони квадрата АВСD. Площа зафарбованої частини дорівнює 7 см 2 . Знайдіть площу всього квадрата.
А | Б | В | Г | Д |
14 см 2 | 21 см 2 | 28 см 2 | 35 см 2 | 42 см 2 |
Правильна відповідь: В.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Властивості квадрата. Площі рівних фігур.
19. Знайдіть координати точки М, відносно якої симетричні точки Е (−3; 8; 7) і
F (−9; 6; 1).
А | Б | В | Г | Д |
(−6;7;4) | (−12;14;8) | (0;0;0) | (3;1;3) | інша відповідь |
Правильна відповідь: А.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Координати точки та симетрія відносно точки у просторі.
20. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює а см.
А | Б | В | Г | Д |
πa 3 см 3 | πa 3 см 3 | πa 3 см 3 | πa 3 см 3 | πa 3 см 3 |
Правильна відповідь: Г.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму тіла обертання.
Частина 2
ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З КОРОТКОЮ ВІДПОВІДДЮ
21. Обчисліть (6 27 + 4 64)(6 27 − 4 64)
Правильна відповідь: −5.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дії над ірраціональними числами.
22. Знайдіть суму перших дванадцяти непарних натуральних чисел.
Правильна відповідь: 144.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Сума членів арифметичної прогресії.
23. Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності
(х −3)(х +10)(х 2 +8х −9)
2 < 0 х +8х −9
Правильна відповідь: −8.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів.
24. На перегоні, довжина якого дорівнює 240 км, поїзд рухався зі швидкістю на 10 км /год менше, ніж мала бути за розкладом, і запізнився на 48 хв . З якою швидкістю мав рухатися поїзд за розкладом?
Правильна відповідь: 60 км /год.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування текстових задач за допомогою рівняння або системи рівнянь.
25. Обчисліть 2sin15°cos15°tg 30°ctg 30°.
Правильна відповідь: 0,5
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення і знаходження значень тригонометричних виразів.
26. Розв’яжіть рівняння (х 2 −9) −15+8х − х 2 = 0. У відповідь запишіть суму коренів.
Правильна відповідь: 11 (або 8).
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування ірраціональних рівнянь.
Примітка. Враховуючи, що чинні підручники з математики для загальноосвітніх навчальних закладів порізному тлумачать ситуацію, коли рівняння мають кратні корені, відповідь 8 також є правильною.
Розв’язання.
Знайдемо область визначення: −15+8х − х 2 ≥ 0, х 2 −8х +15 ≤ 0, х ∈ [3; 5 ]
Рівняння (х 2 −9) −15+8х − х 2 = 0 рівносильне сукупності рівнянь:
⎡х 2 −9 = 0, ⎢ | ⎡х 1 = −3, ⎢ х = 3, звідси: ⎢ 2 |
⎢⎣ −15+8х − х 2 = 0; ⎢⎢х 3 = 3,
⎣х 4 = 5.
Рівняння має чотири корені, з яких два рівні між собою. Корінь х =−3 не входить в область визначення. Тому 3+3+5=11.
⎧22у −х = 32,
⎪
27. Розв’яжіть систему рівнянь ⎨log1 (у − х ) = −2.
⎪⎩ 2
Запишіть у відповідь добуток x 0 ⋅ y 0 , якщо пара (x 0, y 0) є розв’язком вказаної системи рівнянь.
Правильна відповідь: −3.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь, у яких одне рівняння показникове, а інше ─ логарифмічне.
28. Середній вік одинадцяти футболістів команди становить 22 роки. Під час гри одного з футболістів було вилучено з поля, після чого середній вік гравців, що залишилися, став 21 рік. Скільки років футболісту, який залишив поле?
Правильна відповідь: 32.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Статистичні характеристики рядів даних: середнє значення випадкової величини.
29. Обчисліть log3 4⋅log4 5⋅log5 7⋅log 817
Правильна відповідь: 4.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Тотожні перетворення логарифмічних виразів.
30. Знайдіть найбільше ціле значення параметра а, при якому система рівнянь
⎧у −х =а ,
⎨ 2 2 має два розв’язки.
⎩х +у =1
Правильна відповідь: 1.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування систем рівнянь з параметрами графічно.
31. Знайдіть найбільше значення функції у = х 3 −3х 2 + 2 на проміжку [−1; 1].
Правильна відповідь: 2.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Дослідження функції за допомогою похідної.
32. Знайдіть найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння log8 (х + 2) = log8 (2х −а ) має корені.
Правильна відповідь: −3.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Розв’язування рівнянь з параметрами.
33. Сторона рівностороннього трикутника АВС дорівнює 5 см. Знайдіть скалярний
r r
добуток AB ⋅ AC .
Правильна відповідь: 12,5.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Скалярний добуток векторів.
34. Для опалювальної системи будинку необхідні радіатори із розрахунку: три одиниці на 50м3. Яку кількість одиниць радіаторів треба замовити, якщо новий будинок має форму прямокутного паралелепіпеда розміру 15м×18м×25м?
Правильна відповідь: 405.
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Задачі прикладного змісту на знаходження об’єму фігур: об’єм прямокутного паралелепіпеда.
35. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 2 3 см і нахилена під кутом 60°до площини основи. Знайдіть об’єм піраміди.
Правильна відповідь: 12 см 3 .
Компоненти програмових вимог, що перевіряються завданням: Знаходження об’єму фігури, використовуючи теореми планіметрії: об’єм піраміди.
Частина 3
ЗАВДАННЯ ВІДКРИТОЇ ФОРМИ З РОЗГОРНУТОЮ ВІДПОВІДДЮ
36. У правильній чотирикутній піраміді SABCD (S – вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника SDC, проведеною з вершини D, та середньою лінією трикутника ASC, що паралельна основі піраміди.
Правильна відповідь: α= arctg 11.
Розв’язання (авторський варіант)
Нехай SABCD – задана правильна піраміда, в основі якої лежить квадрат ABCD, і SO її висота. Позначимо сторону основи АВ через а, тоді бічне ребро SA = 2a.
У трикутнику SDC з вершини D проведемо медіану DN, N – середина ребра SC. У трикутнику ASC проведемо середню лінію, паралельну AC. Вона перетинає ребра SA та SC у точках М та N відповідно, AM = MS та SN = NC (за означенням середньої лінії). Оскільки АС лежить у площині ABC і MN || AC, то MN || (ABC ). Прямі MN та ND перетинаються в точці N, тому кут MND є шуканим кутом між медіаною DN трикутника SDC і середньою лінією MN трикутника ASC. Позначимо ∠MND =α.
a 2
Діагональ АС квадрата АВСD дорівнює a 2, тому середня лінія MN =.
2
Висота SO піраміди перетинає MN в точці L. Оскільки трикутники ASC і SMN є
a 2
рівнобедреними, то АО = ОС і ML = LN =.
4
З прямокутного трикутника SOC SO =
1
За теоремою Фалеса SL = LO = SO = a
2
З прямокутного трикутника LOD LD =.
Трикутник DNM рівнобедрений, оскільки DM = DN як медіани рівних трикутників SAD та SCD. Медіана DL є висотою. Отже, трикутник DLN є прямокутним.
З трикутника DLN маємо:
LD
tg α= = 11.
LN
Відповідь. α= arctg 11.
Схема оцінювання
1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал.
2. За обгрунтування рівності двох сторін трикутника MND (DM=DN) учень одержує ще 1 бал.
3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN, необхідні для знаходження кута α, він одержує ще 1 бал.
4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.
Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.
• Якщо учень не з’єднує точки М і Д на рисунку, а розглядає кут α як кут трикутника DLN, то в цьому випадку треба обґрунтувати, що трикутник DLN – прямокутний. Тоді має місце така схема оцінювання:
1. За правильно побудований рисунок до задачі з обґрунтуванням паралельності відповідної середньої лінії до основи учень одержує 1 бал.
2. За обґрунтування того, що LD ⊥ MN учень одержує ще 1 бал.
3. Якщо учень правильно знайшов елементи трикутника DLN, необхідні для знаходження кута α, він одержує ще 1 бал.
4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.
Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.
• Якщо учень для розв’язування задачі використав векторно-координатний метод, то тоді має місце така схема оцінювання:
1. За правильне обґрунтування висоти SO учень одержує 1 бал.
2. За вибір системи координат з поясненням необхідних точок учень одержує ще 1 бал.
3. За обчислення координат цих точок учень одержує ще 1 бал.
4. За правильну відповідь учень одержує ще 1 бал.
Таким чином, за правильно розв’язану задачу учень одержує 4 бали.
37. Побудуйте графік функції y =.
2
Розв’язання
Знаходимо область визначення функції, тобто розв’язуємо нерівність −х ≥ 0. Отже, D (y ) = (−∞; 0].
Знайдемо точки, у яких модуль обертається в нуль, тобто розв’яжемо рівняння 4− − x = 0, звідки x =−16.
Якщо x ∈(−∞;−16], то y == −x − 2.
Якщо х ∈ (−16; 0], то y = = 2.
2
Побудуємо ескіз графіка вказаної функції.
1. За правильно знайдене D (y ) учень одержує 1 бал.
2. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку x ∈(−∞;−16], то він одержує 1 бал.
3. Якщо учень правильно розкрив модуль на проміжку (−16; 0], то він одержує ще 1 бал.
4. За правильно побудований ескіз графіка вказаної функції учень одержує ще 1 бал.
Тобто за правильно розв’язане завдання учень одержує 4 бали.
38. Розв’яжіть нерівність (x 2 − 2 a ⋅ x +1)(2x +lga ) < 0.
1
Правильна відповідь: при a ∈(0;1) x ∈(−∞;log2 lg ); a
при а =1 х ∈∅;
при a ∈(1;+∞) x ∈( a − a −1; a + a −1).
Розв’язання
Визначимо область допустимих значень параметра а: a > 0.
Дана нерівність еквівалентна наступній сукупності систем нерівностей:
⎡ ⎧⎪x 2 −2x a +1> 0,
⎢⎨
⎢⎪⎩ 2x +lga < 0;
⎢
⎢⎧⎪x 2 −2x a +1< 0,
⎢⎨
⎢⎣⎪⎩ 2x +lga > 0.
Розв’яжемо спочатку першу систему.
Розглянемо нерівність x 2 − 2 a ⋅x +1> 0.
D 2
= ( a ) −1=a −1.
4
1. Якщо a <1, то розв’язком першої нерівності даної системи буде x ∈R . Тоді
розв’язком нерівності 2x < −lga буде x ∈(−∞;log2 lg 1 ) при 0 < a <1. Тобто,
a
1
розв’язок першої системи матиме вигляд x ∈(−∞;log2 lg ) при 0<a <1. a
2. Якщо а ≥1, то розв’язком нерівності x 2 − 2 a ⋅x +1> 0 буде x ∈(−∞; a − a −1)∪( a + a −1;+∞), а нерівність 2x < −lga не має розв’язків.
Отже, перша система не має розв’язків. Розв’яжемо другу систему.
Розглянемо нерівність x 2 − 2 a ⋅x +1< 0.
D 2
Ураховуючи розв’язання попередньої системи, = ( a ) −1=a −1.
4
1. Якщо a <1, то нерівність не має розв’язків. Отже, друга система не має розв’язків.
2. Якщо а >1, то розв’язком нерівності x 2 − 2 a ⋅x +1< 0 буде x ∈( a − a −1; a + a −1). Тоді розв’язком нерівності 2x > −lga буде x ∈R.
Тобто розв’язок другої системи матиме вигляд x ∈( a − a −1; a + a −1).
3. Якщо a =1, то одержимо нерівність x 2 −2x +1< 0, звідси х ∈∅.
1
Отже, загальна відповідь: при 0 < a <1 x ∈(−∞;log2 lg ); a
при a >1 x ∈( a − a −1; a + a −1); при а =1 х ∈∅.
Схема оцінювання
1. Якщо учень правильно знайшов область допустимих значень параметра а і розглянув нерівність як сукупність двох систем, то він одержує 1 бал.
2. За правильно розв’язану першу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали. Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал.
3. За правильно розв’язану другу систему нерівностей учень одержує ще 2 бали. Якщо він припустився помилки при розв’язанні однєї з нерівностей при умові, що друга нерівність розв’язана правильно, учень одержує 1 бал.
4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.
Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.
• Якщо учень розв’язує нерівність методом інтервалів, то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:
1. За правильно знайдене ОДЗ змінної і параметра учень одержує 1 бал.
2. За правильно знайдені нулі функції у = (х 2 − 2 ах +1)(2х + lgа ) з вказівкою відповідних значень параметра учень одержує 2 бали.
Якщо знайдені нулі тільки одного множника з вказівкою відповідних значень параметра, то учень одержує лише 1 бал.
3. За правильне застосування методу інтервалів на кожному з виділених проміжків для параметра а учень одержує 2 бали.
Якщо учень розглянув один з випадків a >1 або 0 < a <1, то він одержує лише 1 бал.
4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.
Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.
• Якщо учень розв’язує нерівність методом розбиття усіх значень а на три випадки: 0 < a <1, а= 1, a >1 , то в цьому випадку має місце така схема оцінювання:
1. Якщо учень дослідив випадок а =1 і одержав відповідь, то він одержує 1 бал.
2. Якщо учень дослідив випадок 0 < a <1 і одержав відповідь, то він одержує 2 бали.
3. Якщо учень дослідив випадок a >1 і одержав відповідь, то він одержує 2 бали.
4. За правильно записану відповідь учень одержує ще 1 бал.
Тобто за правильно розв’язану задачу учень одержує 6 балів.